Mantiq va matematik mantiq

Mashqlar
Yuqorida aniqlangan barcha tushunchalarga misollar kelti-ring.
To‘plam tushunchasi
Matematikaga oid kitob va ishlarda odatda ixtiyoriy sinflar emas, to‘plamlar ishlatiladi. Sinf bilan to‘plamning farqi nimada?
Avvalo, faraz qilaylik sinflar va to‘plamlarni farqlamasdan (yig‘ishtirish sxemasi deb ataluvchi) sxema bo‘yicha, bu yerda o‘zgaruvchi – qandaydir to‘plam, erkin-likka yo‘l qo‘yib “to‘plam” ni o‘rganaylik. Agar formulada o‘zgaruvchidan boshqa erkin o‘zgaruvchilar ishtirok etmasa, u holda term qandaydir muayyan to‘plamning nomi bo‘lishi kerak. Masalan, agar - haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lsa, u holda
.
Ushbu termni ko‘raylik, bu yerda: - to‘plamlar uchun o‘zgaruvchi, boshqacha aytganda - to‘plam. Shu termni bilan belgilaylik:

ning aniqlanishi g‘aliz. Haqiqatdan ixtiyoriy to‘plam uchun

kelib chiqadi. Xususan, sifatida ni o‘zini olishimiz mumkin, chunki u ham to‘plam. U holda, qarama-qarshilik:

hosil bo‘ladi. Bu qarama-qarshilikni anglyalik matematik Ber-tran Rassel topgan. Lekin, undan avval bu qarama-qarshilikni germaniyalik matematik Ernst Sermelo¹⁸ keltirgan bo‘lsa ham, u 1902-yilda Rassel tomonidan nashr etilganligi uchun bu qara-ma-qarshilik Rassel paradoksi deyiladi.
Shunday qilib tasavvurga sig‘maydigan ulkan ob’ektlarni hosil qilish paradokslarga olib kelar ekan. Rassel paradoksi holi-da ob’ekt ni aniqlash noqonuniy, ya’ni – to‘plam emas yoki bu ob’ekt mavjud emas deb qarama-qarshilikni bartaraf etamiz.
va – ikkita predikat va qandaydir ob’ektlar sinfi ga tegishli bo‘lsin. Agar ixtiyoriy uchun dan kelib chiqsa va dan kelib chiqsa, ya’ni

bo‘lsa, u holda va predikatlar ekvivalent deyiladi
(m., ).
Ikkita ekvivalent predikatlar bir xil sinfni aniqlaydi, ya’ni

Bu sinf tushunchasiga uning hajmi nuqtai nazaridan yondo-shishimizni anglatadi va sinflarni, ularni aniqlovchi predikatlar-ning ekvivalentligi aniqligida o‘rganamiz. Bundan, agar va ikkita sinf bo‘lsa, u holda

Qanday hollarda sinflar to‘plam bo‘ladi? Quyida to‘plamlar hosil qilishning ba’zi muhim qoidalarini keltiramiz.

1. 
   bo‘sh sinf, ya’ni
   

to‘plam hisoblanadi.

2. 
   Ixtiyoriy to‘plam uchun shunday to‘plam mavjud- ki, u faqat ning elementlaridan tashkil topgan:
   

,
ya’ni

3. 
   va to‘plamlar uchun ularning birlashmasi, kesishmasi va ayirmasini aniqlash mumkin:
   

2) va 3) qoidalar barcha chekli to‘plamlar sinfini ko‘rishga imkon beradi.

4. 
   Barcha natural sonlar to‘plami , barcha butun sonlar to‘plami , barcha ratsional sonlar to‘plami , barcha haqiqiy sonlar to‘plami va hakoza to‘plamlar mavjud.
   
5. 
   Ixtiyoriy to‘plam uchun uning barcha qism to‘plam-
   

lari to‘plami mavjud:

Bu yerda: (qoida 2) ga qarang).

6. 
   va to‘plamlar uchun ni ga barcha aks-lantirishlari to‘plami – mavjud va u ko‘rinishida belgilanadi. o‘rniga yozuv ishlatiladi.
   
7. 
   Agar - to‘plam va - to‘plamlar nazariyasining ixtiyoriy predikati bo‘lsa, u holda yig‘ishtirish sxemasining quyidagi xususiy holi yordamida to‘plamni aniqlash mumkin:
   

, shu misol uchun ni aniqlang).
Quyidagicha belgilash kiritamiz

va ajratish sxemasi bo‘yicha to‘plamdan olingan deymiz, ya’ni
.
Xususan, agar - biror to‘plam bo‘lsa, u holda yig‘ish-tirish sxemasi bo‘yicha yangi to‘plam aniqlaymiz, chunki bu holda ajratish sxemasi ga keltiriladi (m., – natural sonlar to‘plami, tub son bo‘lish xossasi bo‘lsa, u holda tub sonlar to‘plami).
To‘plamlar hosil qilishning boshqa yo‘llari ham bor.