Mantiq va matematik mantiq

Mashqlar

1. 
   yoki yozuvlarda qaysi to‘plamlarda qanday predmetning nomi yozilgan?
   
2. 
   Tengsizlik qanday to‘plamning nomi yozilgan shakli?
   
3. 
   Belgilarning kombinatsiyasi qanday pred-metning nomi yozilgan shakli bo‘lishi mumkin?
   
4. 
   Yozuv anglatadigan predmetni aniqlang.
   
5. 
   Belgilarning ushbu kombinatsiyalarining qaysi biri formula bo‘lishini izohlang (formula bo‘lmasa nimani anglatadi):
   

a) ; b) ; v) ;
g) ;
d)

Fikrlash va sillogizmlar¹⁷ nazariyasini

Aristotel bo‘yicha tasniflash
Matematik mantiq va to‘plamlar nazariyasi tushunchalarini ishlatishning birinchi mashqi sifatida Aristotelning ananaviy mantig‘ining parchasini zamonaviy tilda bayon etamiz.
Ananaviy mantiq tushunchalar bilan ish ko‘radi. Tushun-chalar ayrim (birlamchi) va umumiylarga bo‘linadi. Birlamchi tushuncha bu – muayyan predmetning nomi xolos. Umumiy tushuncha ma’nosi bo‘yicha predmetlarning unga duchor bo‘li-shi bilan tavsiflanuvchi xossalar majmuini ko‘rsatish bilan aniqlanadi. Shu tavsiflovchi xossalar majmuiga ega predmetlar sinfi tushunchaning hajmini tashkil etadi.
Matematik mantiqda predmetlarning xossalari bir o‘rinli predikatlar deyiladi. (m., – tub son yoki – juft sonlar to‘plami). Quyida, oddiygina predikat deb atalib, harflar bilan belgilanuvchi bir o‘rinli predikatlarni o‘rganamiz. Fikr bildiruvchi shakl “predmet xossa ga ega” ni ko‘rinishida belgilaymiz. Masalan, agar “juft son bo‘lish” xossasi bo‘lsa, u holda va chin mulohaza-
lar, esa yolg‘on mulohazani anglatadi.
Xossalar majmui ni xossa “barcha xossalar , ga ega” bilan almashtirish mumkin. Shuning uchun an’anaviy mantiqning umumiy “tushunchasi” mazmun
nuqtai nazaridan bir o‘rinli predikatdir.
Predikat uchun xossa ga ega barcha predmetlar sinfi
(3)
ni hosil qilish mumkin. Bu sinf tushunchasi hajmining tavsifidir. Tenglik (3) da ixtiyoriy uchun ekvivalentlik

o‘rinli. Umumiylik kvantoridan foydalanib “agar har bir uchun shart bajarilgan holda va faqat shu holda ” ni kabi yozamiz.
O‘zgaruvchilardan ma’noli foydalanish, o‘zgaruvchilarni o‘rniga qo‘yish mumkin bo‘lgan, qandaydir predmetlarning bo‘sh bo‘lmagan sinfi o‘rganilayotgan ob’ektlarni avval-dan fiksirlaganimizni nazarga oladi va “ixtiyoriy uchun” iborasini “sinf dagi har qanday predmet uchun“ deb tushunish joiz.
Bu holda sinf o‘zgaruvchi ning o‘zgarish sohasi deyila-di. O‘zgaruvchili ifodalarni ishlatishda mos o‘zgaruvchilarning o‘zgarish sohasini aniq fiksirlash joiz. Masalan, sifatida barcha natural sonlar sinfini, barcha haqiqiy sonlar sinfini yoki xatto barcha to‘plamlar sinfini olish mumkin.
Ta’kidlaymizki, va larni to‘plamlar emas, sinflar dedik. Kelgusida har qanday xossa to‘plamni aniqlamaydi, lekin (qandaydir mantiqiy – matematik tilda yozilgan) har qanday xossa sinfni aniqlaydi deb hisoblash mumkin. To‘plamlar sinf-larning xususiy ko‘rinishidir.
O‘zgaruvchilarning o‘zgarish sohasi ayni sinf bo‘lishi mumkin, lekin to‘plam emas. Masalan, haqiqiy sonlar to‘plami ratsional va irratsional sonlardan tashkil topgani uchun – sinf va bu sinf haqiqiy sonlar to‘plamini tashkil etadi. Aristotelning