Mantiq va matematik mantiq

Misolllar. 1) - butun sonlar halqasi;
2) - haqiqiy sonlar maydoni;
3) - butun sonlar to‘plamini ikki sinfga ga bo‘linadi-gan va ga bo‘lganda qoldiq qoladigan sinflarga ajrataylik. Bu sinflarni va deb belgilaylik. Shu sinflar to‘plami da qo‘shish va ko‘paytirish ni quyidagicha aniqlaymiz:


U holda - halqa bo‘ladi. Bu halqa maydon ham bo‘ladi.

5. 
   to‘plamda amallarni quyidagi jadvallar yordamida aniqlaylik:
   

+	0	1	2	3				0	1	2	3
0	0	1	2	3			0	0	0	0	0
1	1	2	3	0			1	0	1	2	3
2	2	3	0	1			2	0	2	0	2
3	3	0	1	2			3	0	3	2	1

- halqa bo‘lishini tekshiring.

6. 
   to‘plamda amallarni quyidagi jadvallar yordamida aniqlaylik:
   

+

- halqa (maydon) bo‘lishini ko‘rsating.
7) juftliklar to‘plamida + va amallarini uning elementlarining mos tashkil etuvchilarini + va kabi aniqlaymiz:
,
,
ya’ni juftlikning tashkil etuvchilariga halqaning elementlari deb qaraymiz. Shuning uchun halqani kabi belgilanadi.
Misol 7) yangi halqalarni quyidagi umumiy tuzilishining hususiy holidir. - halqa bo‘lsin.

da va ni hadma-had bajaramiz:


- halqa tashkil etishini tekshirish qiyin emas (mashq).
Guruh va halqalar matematik tuzilmalarga misol bo‘ladi. Navbatdagi misol sifatida tartiblangan maydonlarni ko‘ramiz.
Agar maydonda aniqlangan munosabat ushbu qat’iy tartib aksiomalari

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   
   

ni qanoatlantirsa, u holda tuzilma qat’iy tartiblan-gan maydon deyiladi.
Masalan, - qat’iy tartiblangan maydondir, bu yerda: - ratsional sonlar to‘plami.


Mashqlar

1. 
   Nokommutativ gugruhga misol keltirig.
   
2. 
   Yettita elementdan tashkil topgan kommutativ guruhga misol keltirig.
   
3. 
   Nokommutativ halqaga misol keltirig.
   
4. 
   Beshta elementdan tashkil topgan kommutativ halqaga misol keltirig.
   
5. 
   Elementlar soni ikkitadan ko‘p bo‘lgan chekli maydonga misol keltiring.
   

Bul algebralari

Matematik mantiq uchun Bul halqalari va Bul panjaralari deb ataluvchi tuzilmalar muhim ahamiyatga ega. Bu tuzilmalar o‘zaro bir-biri bilan bog‘liq.
Bul halqalari boshqalardan quyidagi qo‘shimcha ikki aksio-malar bilan farqlanadi:


Aksioma halqada birning mavjudligini anglatadi. aksiomalardan birning yagonaligini ko‘rsatish oson. aksioma o‘ziga xos.
Masalan, bo‘yicha chegirmalar halqasi da aksioma o‘rinli, demak - Bul halqasi.
Quyida har bir chekli Bul halqasi halqalardan birorta-siga izomorf bo‘lishini ko‘ramiz.
ta elementdan tashkil topgan har bir to‘plam halqa-ga izomorf bo‘lgan quyidagi ikki halqalar bilan bog‘langan:

1. 
   to‘plamda aniqlangan, qiymatlar to‘plami bo‘lgan halqa ;
   
2. 
   Ushbu
   

amallar kiritilgan to‘plamning barcha qism to‘plamlari halqa-si .
Agar qism to‘plam ga uning xarakteristik funksiyasi

ni mos qo‘ysak, u holda funksiya ni ga izomorf akslantirish bo‘ladi (tekshirish mashq).
ni ga izomorf akslantirishni hosil qilish uchun elementlarini muayyan tartibda joylashtiramiz:

dan funksiyaga ni mos qo‘yamiz.
halqada unar amal – to‘ldiruvchi olishni ko‘raylik:

Ravshanki,

da to‘plamlarning birlashmasini halqa amallari orqali aniqlash mumkin:

xossani
yoki
ko‘rinishda ifodalash mumkin.
Qism bo‘lish munosabati quyidagi xossaga ega:

Lemma. Har qanday Bul halqasida quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Isboti 1). 8 da ni o‘rniga
yig‘indini qo‘yaamiz:

ya’ni
2). .
3). 8 ga asosan

Lekin

Element element ga to‘ldiruvchi deyiladi va kabi belgilanadi. To‘ldiruvchi quyidagi xossalarga ega.

4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   

Isboti. 4).

5).
6).
to‘plamda munosabatini quyidagicha kiritamiz:

Agar va bo‘lsa, u holda deymiz.
7) tranzitiv)
Haqiqatan, agar bo‘lsa, u holda

munosabatning tranzitivlik 7) xossasi da “qisman tar-
tib” o‘rnatadi. Munosabat ham tranzitiv bo‘lishini tekshirish oson. Qisman tartib munosabati o‘ziga xos quyidagi hossalarga ega:
8)
9)
8) ni tekshiraylik. va berilgan. Bundan

9) ni tekshiraylik.
munosabatga nisbatan minimal elementlar atomlar deyi-ladi. Boshqacha aytganga, agar bo‘lsa, u holda element atom bo‘ladi.
Lemma. Agar chekli Bul halqasi va bo‘lsa, u holda atom mavjud.
Isboti. Agar atom bo‘lsa, u holda deb olamiz. Agar atom bo‘lmasa, u holda bo‘lgan element mavjud. Ya’ni 0 . Agar atom bo‘lsa, u holda lemma isbot bo‘ldi. Agar atom bo‘lmasa, u holda shunday mavjudki, o‘rinli va hokazo. Zanjir

jufti bilan har xil elementlardan tashkil topgan, va to‘plam chekli bo‘lgani uchun qandaydir qadamda ketma-ketlik

uziladi, va atom bo‘ladi.
10). Agar – turli atomlar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Isbot. 9) dan . Agar bo‘lsa, u holda , atomlar bo‘lgani uchun, va bo‘lishi zarur, ya’ni . Buni bo‘lishi mumkin emas, chunki
Teorema. Har qanday chekli Bul halqasi mos da standart
Bul halqasi ga izomorf. (Isboti mustaqil ish, [4], 34-bet).