Лекция № Основные сведения об управлении План Основные понятия и определения. Процессы и сигналы

Пример 2. Дано характеристическое уравнение системы.

Найти устойчивости системы по критериям Михайлова.
Решение:
Заменяем s→j

1)
2)

3)

	0	1.4	2	∞
U()	4	0	-4	-∞
jV()	0	-8.2	-24	-∞

Так как, условия не выполнялся. Поэтому система неустойчива.

Для критерия Михайлова используется характеристическое уравнение как замкнутой так и разомкнутой системы.
Пример 2. Дано характеристическое уравнение системы.

Найти устойчивости системы по критериям Михайлова.
Решение:
Заменяем s→j

1)
2)

3)

	0	1.3	1.4	∞
U()	5	0	-1	-∞
jV()	0	0.78	0	-∞

Так как, условия выполнялся. Поэтому система устойчива.


Лекция № 11. Критерий устойчивости Найквиста

1. Определение устойчивости замкнутой системы при неустойчивости разомкнутой.

2. Правило перехода.
3. Логарифмический критерий устойчивости.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по АФХ разомкнутой системы. При этом первоначально надо изменить структуру системы так, чтобы ОС была единичной.

Пусть имеется система:




(-1; j) - критическая точка.
Относительно нее рассматривается движение вектора системы
Здесь встречается 3 случая:
1) Система в разомкнутом состоянии устойчива.
2) Система в разомкнутом состоянии неустойчива.
3) Система находится на грани устойчивости (нейтральна).

Для устойчивости замкнутой системы при устойчивости разомкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ замкнутой системы не охватывало критическую точку (-1; j).

В этом случае система устойчива

В этом случае система неустойчива

В разомкнутом состоянии система неустойчива, т.е. у нее имеется k правых корней. Для этого случая сформулируем критерий устойчивости Найквиста. Для устойчивости подобной замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала критическую точку k/2 раз. В этом случае система будет устойчива. Если k ≠ 2, система неустойчива. где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если система имеет сложный характер, то количество охватов определить достаточно трудно.
В этом случае используется правило переходов (правило переходов Я.З. Цыпкина), которое заключается в следующим: положительным переходом считается при возрастания частоте АФХ пересекает действительной оси сверху вниз, а внизу сверх отрицательным. При этом учитывается количество переходов в диапазоне [-∞;-1].

Анализ устойчивости возможен также по числу переходов АФХ (правило переходов Я. З. Цыпкина) разомкнутой системы через действительную ось: замкнутая система автоматического управления будет устойчивой, если разность между положительными переходами АФХ разомкнутой системы отрезка действительной оси (–∞, –1) равна ±k/2, где k – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Переход характеристики через отрезок вещественной оси слева от точки (–1, j0), т. е. через отрезок (–∞, –1), при возрастании частоты будет положительным, если он происходит снизу вверх. Если характеристика начинается на отрезке (–∞, –1) при ω = 0 или заканчивается на нем при ω = ∞, то считают, что она совершает полперехода.

В данном случае система устойчива. Если k ≠ 0 система не устойчива.

В том случае, когда порядок числителя больше порядка знаменателя, т.е. n < m то удобным является построение обратной АФХ разомкнутой системы.

Пример. Пусть передаточная функция имеет вид:

Для этого слушая критерий имеет следующий вид. Замкнутая система будет устойчива, если разность отрицательных и положительных переходов обратной АФХ разомкнутой системы при монотонном возрастании перейти через отрезок [0; -1] k/2 раз.

В этом случае знак перехода изменяется сверху вниз, отрицательный снизу, положительный сверху.
Устойчивость системы можно определить по количеству квадрантов, которые проходит АФХ.

где: n – порядок знаменателя, m – порядок числителя, k – число правых корней, l – количество квадрантов.
Рассмотрим случай, когда разомкнутая система нейтральна. В этом случае строится АФХ разомкнутой системы, начиная с отрицательной оси комплексной плоскости.

В этом случае для определения устойчивости системы АФХ разомкнутой системы дополняется дугой начинающейся с вещественной оси с радиусом R = ∞.

Если АФХ начинается с вещественной отрицательной части, тогда количество переходов k = 1/2.
В инженерной практике так же используется логарифмический критерий устойчивости. Для этого строится ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

ω_ср – частота среза
ω_зат – частота затухания
По расположению частоты среза и частоты затухания определяется устойчивость системы. Если ω_ср < ω_зат то система устойчива.
Пусть известны ЛАЧХ и ЛФЧХ некоторой системы.

Количество переходов считается только в случае, когда ЛАЧХ положительное. В этом случае система устойчива.