Лекция № Основные сведения об управлении План Основные понятия и определения. Процессы и сигналы

Лекция 10. АБСларнинг частотавий мезонлари.
Частотные критерии устойчивости САУ

1. Аргументлар принципи. Принцип аргумента.

2. Турғунликнинг Михайлов мезони. Критерий устойчивости Михайлова.
3. Турғунликнинг Найквист мезони. Критерий устойчивости Найквиста.

Тадқиқ қилинаётган системанинг турғунлигини текшириш учун турғунликнинг частотавий мезонлари кенг қўлланилади.

Частотные критерии широко применяются для определения устойчивости исследуемой системы.
Частотавий мезонлар аргументлар принципига асослангандир. Ушбу принципнинг маъноси қуйидагичадир:
Частотные критерии основаны на принципе аргумента. Сущность данного принципа заключается следующем:
Бизга системанинг характеристик тенгламаси қуйидаги кўринишда берилган бўлсин:
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:
(1)
_{(1) тенгламани ечиб, унинг s1, s2,..., sn илдизларини топамиз. Ушбу тенгламани илдизлари орқали қуйидагича кўринишда ёзиш мумкин (Герон формуласи):
Решая уравнение (1) находим корни s1, s2,..., sn. Это уравнение через его корни можно записать в следующем виде (формула Герона):}
(2)
s→j ўзгартириш орқали қуйидагини хосил қиламиз:
Заменяя s→j получим:

_{Характеристик тенгламанинг илдизларининг хақиқий қисми манфий бўлсин, яъни si<0. Комплекс текислигида бу ордината ўқининг чап томонида жойлашганлигини} билдиради. Бу эса системанинг турғунлигини билдиради.
_{Пусть вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные si < 0. В комплексной плоскости это означает, что корни находятся слева от оси} ординат (ось «y»). Это значит, что система устойчива.

Ордината ўқининг ўнг томонида жойлашган илдизлар ўнг илдизлар дейилади.
Те корни, которые находятся справа от оси ординат называются правыми корнями.
Характеристик тенгламанинг кўпайтувчилари комплекс текислигида вектор шаклида қуйидагини ифодалайди:
Сомножители характеристического уравнения в комплексной плоскости представляют собой вектор .
Частота -∞ дан ∞ гача ўзгарганда вектор s_i нуқтага нисбатан соат стрелкасига тескари йўналишда харакатланади ва бурчакка бурилади.
При изменении частоты от -∞ до ∞ вектор j - s_i относительно точки s_i продвигается против часовой стрелки и совершает поворот на φ=π.

Агар s_i > 0 бўлса, у ҳолда частота -∞ дан ∞ гача ўзгарганда вектор s_i нуқтага нисбатан соат стрелкаси бўйича йўналишда харакатланади ва бурчакка бурилади.
Если s_i > 0, тогда

Агар

Если s_i=_i  j_i, тогда

Характеристик тенгламанинг ҳар бир кўпайтувчисини қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
Каждый сомножитель характеристического уравнения можно записать в виде показателей функции:


У ҳолда характеристик тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
Тогда характеристическое уравнение можно записать в виде:

Ушбу ҳолатда системанинг турғунлигини аргументнинг харакати бўйича аниқлаш мумкин.
В этом случае устойчивость системы можно определить по движениям аргумента:

Ушбу принцип асосида турғунликнинг Михайлов мезонини шакллантириш мумкин: система турғун бўлиши учун частота -∞ дан +∞ гача ўзгарганда характеристик тенгламанинг вектори мусбат хақиқий ўқдан бошланиб, монтон ўсиб соат стрелкасига тескари кордината бошини ўз ичига олган холда кетма-кет n квадрантларни кесиб ўтиши зарур ва етарлидир.
На основе этого сформируем критерий устойчивости Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от -∞ до ∞ вектор характеристического уравнения начинается с положительной полуоси, монотонно возрастает против часовой стрелки, последовательно пересекает n квадрантов.
Ушбу ҳолатда характеристик тенглама векторининг траекторияси Михайлов годографи дейилади. Михайлов годографини қуриш учун тадқиқ этилаётган системанинг характеристик тенгламасидан фойдаланилади, яъни:
В этом случае траектория вектора характеристического уравнения называется Годографом Михайлова. Для построения годографа Михайлова используется характеристический полином исследуемой системы.

Сўнгра s→j билан алмаштирилади.
Затем заменяем s→j

Ушбу тенгламани хақиқий ва мавхум қисмларга ажратамиз
Выделяем мнимую и вещественную части

Сўнгра ω частотани 0 дан +∞ ўзгартириб, Михайлов годографини қурамиз.
Затем заменяя ω от 0 до ∞ строится годограф Михайлова.

Ушбу график учун Михайлов мезонининг тарифи: система турғун бўлиши учун ω частота 0 дан +∞ гача ўзгарганда Михайлов годографи мусбат хақиқий ўқдан бошланиб, соат стрелкасига тескари монтон ўсиб кордината бошини ўз ичига олган холда кетма-кет n квадрантларни кесиб ўтиши зарур ва етарлидир. Одатда
Для графического случая критерий Михайлова гласит: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, при изменении ω от 0 до ∞, начинался в правой части и, монотонно возрастая, последовательно проходил через n квадрантов. Обычно угол поворота вектора характеристического уравнения определяется по формуле:

n – порядок характеристического уравнения;
k – число правых корней.
Пример 1.

2 правых корня.