Kvadrat tenglamalar oddiy tushuntirishlar. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari Bibliografik tavsif

2z 2 - 9z + 2 = 0.
Bu tenglamaning koeffitsientlarini 2 ga ajratsak, z 2 - 4,5z + 1 = 0 tenglamani olamiz.
Nomogramma z 1 = 4 va z 2 = 0,5 ildizlarni beradi.
Javob: 4; 0,5.
9. Kvadrat tenglamalarni yechishning geometrik usuli.
Misol.X 2 + 10x = 39.
Asl nusxada bu masala quyidagicha tuzilgan: "Kvadrat va o'nta ildiz 39 ga teng."
X tomoni bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing, uning yon tomonlarida to'rtburchaklar qurilgan, shunda ularning har birining boshqa tomoni 2,5 ga teng, shuning uchun har birining maydoni 2,5x ni tashkil qiladi. Keyin olingan raqam yangi ABCD kvadratiga to'ldiriladi, burchaklardagi to'rtta teng kvadratni to'ldiradi, ularning har birining tomoni 2,5 va maydoni 6,25 ga teng.

Guruch. 3 x 2 + 10x = 39 tenglamani grafik yechish usuli
ABCD kvadratining S maydoni maydonlarning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin: asl kvadrat x 2, to'rtta to'rtburchaklar (4∙2,5x = 10x) va to'rtta biriktirilgan kvadrat (6,25∙4 = 25), ya'ni. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. x 2 + 10x ni 39 raqami bilan almashtirsak, biz S \u003d 39 + 25 \u003d 64 ni olamiz, bu ABCD kvadratining tomoni, ya'ni. segment AB \u003d 8. Asl kvadratning kerakli tomoni x uchun biz olamiz
10. Bezout teoremasi yordamida tenglamalarni yechish.
Bezout teoremasi. P(x) ko‘phadni x - a binomiga bo‘lgandan keyin qolgan qismi P(a) ga teng bo‘ladi (ya’ni P(x) ning x = a dagi qiymati).
Agar a soni P(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, bu ko’phad x -a ga qoldiqsiz bo’linadi.
Misol.x²-4x+3=0
R(x)= x²-4x+3, a: ±1,±3, a=1, 1-4+3=0. P(x) ni (x-1) ga bo'ling: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, yoki x-3=0, x=3; Javob: x1 =2, x2 =3.
Chiqish: Kvadrat tenglamalarni tez va oqilona yechish qobiliyati shunchaki murakkabroq tenglamalarni, masalan, kasrli ratsional tenglamalarni, yuqori darajali tenglamalarni, bikvadrat tenglamalarni va o'rta maktabda trigonometrik, ko'rsatkichli va logarifmik tenglamalarni echish uchun zarurdir. Kvadrat tenglamalarni echishning barcha usullarini o'rganib chiqib, biz sinfdoshlarga standart usullardan tashqari, uzatish usuli (6) va tenglamalarni koeffitsientlar (7) xususiyati bo'yicha echishni maslahat berishimiz mumkin, chunki ular tushunish uchun qulayroqdir. .
Adabiyot:

1. 
   Bradis V.M. To'rt xonali matematik jadvallar. - M., Ta'lim, 1990 y.
   
2. 
   Algebra 8-sinf: 8-sinf uchun darslik. umumiy ta'lim muassasalar Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovskiy 15-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. - M.: Ma'rifat, 2015
   
3. 
   https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
   
4. 
   Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi. O'qituvchilar uchun qo'llanma. / Ed. V.N. Yoshroq. - M.: Ma'rifat, 1964 yil.
   

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin.
Biz y \u003d ax 2 + bx + c funksiya grafigi parabola ekanligi haqidagi teoremani isbotlaganimizda 13-§da amalga oshirgan o'zgarishlarni 2 + bx + c kvadrat trinomialiga qo'llaymiz.
Bizda ... bor
Odatda, b 2 - 4ac ifodasi D harfi bilan belgilanadi va ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglamasining diskriminanti deb ataladi (yoki kvadrat trinomial ax + bx + c diskriminanti).
Shunday qilib

Demak, ax 2 + ularning + c \u003d O kvadratik tenglamasini quyidagicha qayta yozish mumkin.


Har qanday kvadrat tenglamani (1) ko'rinishga o'zgartirish mumkin, bu esa endi ko'rib chiqamiz, kvadrat tenglamaning ildizlari sonini aniqlash va bu ildizlarni topish uchun qulaydir.


Isbot. Agar D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.