Kvadrat tenglamalar oddiy tushuntirishlar. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari Bibliografik tavsif

Tenglama yechish qoidasi
ax 2 + bx + c = 0

Bu qoida universal bo'lib, u to'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarga ham tegishli. Biroq, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar odatda ushbu qoida bo'yicha yechilmaydi, ularni oldingi paragrafda bo'lgani kabi yechish qulayroqdir.
4-misol Tenglamalarni yechish:
a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.
Yechish.a) Bu yerda a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. bitta. (- 5) = 9 + 20 = 29.
D > 0 boʻlgani uchun bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu ildizlar formulalar bo'yicha topiladi (3)
B) Tajriba shuni ko'rsatadiki, etakchi koeffitsienti ijobiy bo'lgan kvadrat tenglamalar bilan ishlash qulayroqdir. Shuning uchun birinchi navbatda tenglamaning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz, biz olamiz
9x 2 - 6x + 1 = 0.
Bu erda a \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
D = 0 bo'lgani uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Bu ildiz x \u003d - formulasi bilan topiladi. Ma'nosi,

Bu tenglamani boshqa yo'l bilan yechish mumkin: beri

9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, keyin biz (3x - I) 2 \u003d 0 tenglamasini olamiz, undan Zx - 1 \u003d 0, ya'ni x \u003d ni topamiz.
c) Bu erda a \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. D dan boshlab< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Matematiklar amaliy, tejamkor odamlardir. Nega, deyishadi, kvadrat tenglamani yechish uchun bunday uzoq qoidadan foydalaning, darhol umumiy formulani yozish yaxshiroqdir:

Agar D \u003d b 2 - 4ac diskriminanti manfiy raqam ekanligi aniqlansa, yozma formula mantiqiy emas (manfiy raqam kvadrat ildiz belgisi ostida), ya'ni ildiz yo'q. Agar diskriminant nolga teng ekanligi aniqlansa, biz olamiz

Ya'ni, bitta ildiz (ular ham aytadilarki, bu holda kvadrat tenglama ikkita bir xil ildizga ega:

Nihoyat, agar b 2 - 4ac > 0 bo'lib chiqsa, u holda ikkita ildiz x 1 va x 2 olinadi, ular yuqorida ko'rsatilgan formulalar (3) yordamida hisoblanadi.
Bu holda sonning o'zi musbat (musbat sonning har qanday kvadrat ildizi kabi) va uning oldidagi qo'sh belgi bir holatda (x 1 ni topganda) bu musbat son raqamga qo'shilganligini anglatadi - b va boshqa holatda (x 2 ni topganda) siz ijobiy raqam bo'lasiz.
raqamdan o'qing - b.
Sizda tanlash erkinligi bor. Agar xohlasangiz, yuqorida tuzilgan qoidadan foydalanib, kvadrat tenglamani batafsil yeching; agar xohlasangiz, darhol (4) formulani yozing va undan kerakli xulosalar chiqarish uchun foydalaning.
5-misol. Tenglamalarni yechish:
Yechim, a) Albatta, bu holatda (4) yoki (3) formulalardan foydalanish mumkin  Ammo butun sonlar bilan ishlash osonroq va eng muhimi, yoqimliroq bo'lsa, nima uchun kasrlar bilan operatsiyalarni bajarish kerak? Keling, denominatorlardan xalos bo'laylik. Buning uchun tenglamaning ikkala qismini 12 ga, ya'ni tenglamaning koeffitsienti bo'lib xizmat qiladigan kasrlarning eng kichik umumiy maxrajiga ko'paytirish kerak. Oling

buning uchun 8x 2 + 10x - 7 = 0.
Va endi biz formuladan foydalanamiz (4)


B) Bizda yana kasr koeffitsientlari bo'lgan tenglama bor: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Tenglamaning ikkala tomonini 100 ga ko'paytiramiz, keyin butun sonli koeffitsientli tenglamani olamiz:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Keyin (4) formuladan foydalanamiz:

Oddiy taxmin diskriminant (radikal ifoda) salbiy son ekanligini ko'rsatadi. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari yo'q.
6-misol tenglamani yeching 
Yechim. Bu erda, oldingi misoldan farqli o'laroq, qisqartirilgan formula bo'yicha emas, balki qoidaga muvofiq harakat qilish afzaldir (4).
Bizda \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4 bor. besh. 1 = 60 - 20 = 40. D > 0 boʻlgani uchun kvadrat tenglama ikkita ildizga ega boʻlib, biz ularni (3) formulalar yordamida qidiramiz.

7-misol tenglamani yeching
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0
Yechim. Bu kvadrat tenglama shu paytgacha ko'rib chiqilgan barcha kvadrat tenglamalardan farq qiladi, chunki koeffitsientlar o'ziga xos sonlar emas, balki harfiy ifodalardir. Bunday tenglamalar harfli koeffitsientli tenglamalar yoki parametrli tenglamalar deb ataladi. Bunday holda, p parametri (harfi) ikkinchi koeffitsientga va tenglamaning erkin muddatiga kiradi.
Diskriminantni topamiz:


8-misol. px 2 + (1 - p) x - 1 = 0 tenglamasini yeching.
Yechim. Bu ham p parametrli tenglamadir, lekin oldingi misoldan farqli o'laroq, uni (4) yoki (3) formulalar yordamida darhol hal qilib bo'lmaydi. Gap shundaki, bu formulalar kvadrat tenglamalar uchun qo'llaniladi, ammo biz buni berilgan tenglama haqida hali ayta olmaymiz. Haqiqatan ham, agar p = 0 bo'lsa nima bo'ladi? Keyin
tenglama 0 ko'rinishini oladi. x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, ya'ni x - 1 \u003d 0, shundan biz x \u003d 1 ni olamiz. Endi, agar siz buni aniq bilsangiz, unda siz ildizlarning formulalarini qo'llashingiz mumkin. kvadrat tenglama:




Kvadrat tenglama ax^2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda a, b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar va a ≠ 0 bo'ladi, aks holda u endi kvadrat tenglama bo'lmaydi. Kvadrat tenglamalar yo ildizga ega emas yoki aynan bitta ildiz yoki ikki xil ildizga ega. Birinchi qadam diskriminantni izlashdir. Formula: D = b^2 − 4ac. 1. Agar D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Birinchi variant aniq, hech qanday ildiz yo'q. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagicha topish mumkin: x12 = (-b +- √D) / 2a. Ikkinchi variantga kelsak, D = 0 bo'lganda, yuqori formuladan foydalanish mumkin.
Kvadrat tenglamalar matematika kursida maktab o‘quv dasturida o‘rganila boshlandi. Ammo, afsuski, hamma ham kvadrat tenglamani to'g'ri yechish va uning ildizlarini hisoblashni tushunmaydi va bilmaydi. Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini tushunib olaylik.
Kvadrat tenglama nima
Kvadrat tenglama atamasi odatda umumiy shakldagi algebraik tenglama sifatida tushuniladi. Bu tenglama quyidagi ko'rinishga ega: ax2 + bx + c = 0, a, b va c esa ba'zi aniq sonlar, x noma'lum. Ushbu uchta raqam odatda kvadrat tenglamaning koeffitsientlari deb ataladi:

• 
  a - birinchi koeffitsient;
  
• 
  b - ikkinchi koeffitsient;
  
• 
  c - uchinchi koeffitsient.
  

Kvadrat tenglamaning ildizlarini qanday topish mumkin
Kvadrat tenglamaning ildizlari nimaga teng bo'lishini hisoblash uchun tenglamaning diskriminantini topish kerak. Kvadrat tenglamaning diskriminanti b2 - 4ac formulasiga teng bo'lgan va hisoblangan ifodadir. Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, ildiz quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: x \u003d -b + - diskriminantning ildizi 2 a ga bo'linadi.
5x kvadrat - 8x +3 = 0 tenglama misolini ko'rib chiqing
Diskriminant sakkiz kvadrat, minus to'rt marta besh marta uch, ya'ni = 64 - 4 * 5 * 3 = 64-60 = 4
x1 \u003d 8 + - to'rtning ildizi ikki karra beshga bo'lingan \u003d 8 + 2/10 \u003d 1
x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6
Shunga ko'ra, bu kvadrat tenglamaning ildizlari 1 va 0,6 bo'ladi.
Diskriminant, shuningdek kvadrat tenglamalar 8-sinfda algebra kursida o‘rganila boshlaydi. Kvadrat tenglamani diskriminant orqali va Vieta teoremasi yordamida echishingiz mumkin. Kvadrat tenglamalarni o'rganish metodologiyasi, shuningdek, diskriminant formulasi, haqiqiy ta'limdagi kabi maktab o'quvchilariga juda muvaffaqiyatsiz singdirilgan. Shu sababli, maktab yillari o'tadi, 9-11-sinflardagi ta'lim "oliy ta'lim" o'rnini egallaydi va hamma yana qidirmoqda - “Kvadrat tenglama qanday yechiladi?”, “Tenglamaning ildizlari qanday topiladi?”, “Diskriminant qanday topiladi?”. Va...