Kurs ishi mavzu: Chekli ayirmalar usuli

4. Rits usuli to`g`risida tushuncha. Bu usulning mohiyati quyidagidan iborat. F(i) funksionalni minimizatsiyalash haqida masala ko`rilayotgan bo`lsin. funktsional uchun mumkin bo`lgan funksiyalarning to`la sistemasini orqali belgilab olamiz va , ketma-ketlikni tuzamiz, bu yerda hozircha noma’lum o`zgarmaslar. , koeffitsiyentlarni shunday aniqlaymizki, ifoda larning funksiyasi sifatida minimal bo`lsin.
Funktsionallarning ayrim sinflari uchun Rits shu narsani ko`rsatishga muvaffaq bo`lganki, minimizatsiyalovchi ketma-ketlik bo`lib, yaqinlashuvchi bo`ladi va uning limiti tekshirilayotgan masalani yechadi. Masalan, soxa kvadratdan iborat bo`lgan holda J(i) funktsionalni minimizatsiyalovchi ikkinchi variatsion masalani tekshiramiz.
18
Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda
(92)
deb hisoblaymiz. Yuqorida ko`rsatilgan to`la sistema uchun ushbu

funksiyalar sistemasini olishimiz mumkin.

bo`lsin. funksiyalar ravshanki, (88) shartni qanoatlantiradi. Bundan tashqari
(93)
Rits sistemasga va (92)ga asosan
(94)
shart bajarilganda (93) ifodaning minimumini topishimiz kerak.
(93), (94) shartli ekstremum masalani yechib, ixtiyoriy va lar uchun dan tashqari barcha larning nolga tengligini shu bilan birga

ekanligini topamiz. Shunday qilib,

5.Xos qiymatlar to`g`risidagi masalaning taqribiy yechimini tuzish . Bubnov - Galerkin usuli to`g`risda tushuncha. Rits usuli xos qiymatlar to`grisida (87), (88) masalaning taqribiy yechimini tuzishga imkon beradi. Haqiqata ham, funktsionalni minimizatsiyalash haqidagi ikkinchi variatsion masalaning
19
taqribiy yechimi uchun

shartda, avvalgi banddagi

funksiyani qabul qilish mumkin, bu yerda , koeffitsiyentlar ushbu

shartli minimum masalasini yechish natijasida aniqlanadi.
Shunday qilib, tuzilgan funksiyani (87), (88) masala xos funksiyasining taqribiy ifodasi uchun qabul qilish tabiiydir, shu bilan

formula shu masalaning xos soni uchun taqribiy ifodani beradi.
Xos kiymatlar to`g`risidagi masalaning taqribiy yechimini tuzishda Bubnov - Galerkin usuli ham muvaffaqiyat bilan qo`llaniladi.
Bu usulda (87), (88) masala xos funktsiyasining taqribiy ifodasi uchun
(95)
funksiya qabul qilinadi, faqat bu gal koeffitsiyentlar
(96)
tengliklardan topiladi. Bu tengliklar esa bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iboratdir. Chiziqli algebradan ma’lumki, bu sistema ,
(97)
tenglamani qanoatlantirgan holda va faqat shu holdagina trivial bo`lmagan yechimlarga ega bo`ladi. (97) tenglamadan topilgan ning qiymatlarini (87), (88) masala xos sonlarining taqribiy ifodasi uchun qabul qilinadi. Bularga mos bo`lgan xos funksiyalar uchun taqribiy ifodalar (95) formula bilan beriladi, undagi lar esa (96) sistemaning yechimidan iboratdir.
20
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni ayniqsa, buziladigan tenglamalarni integral tenglamalar usuli bilan yechishda, hamda bunday tenglamalar uchun nolokal masalalarni qo`yishda va ularni tekshirishda integro-differentsial operatorlar muhim rol o`ynaydi.