Kurs ishi mavzu: Chekli ayirmalar usuli

29
Xulosa
Differensial tenglamalar va matematik fizika fani kursi o’zining qo’llanishi jihatidan nafaqat matematikaning yo’nalishlari, balkim fizika, mexanika va boshqa fan yo’nalishlaridagi ko’plab masalalarni yechishda asosiy xizmatchi vositasini o’taydi. Differensial tenglamalar va matematik fizika fanining asosiy ish vositasi hisoblangan bir qiymatli analitik funksiya, uning haqiqiy va mavhum qismi qo’shma garmonik funksiyalar tushunchasi o’zining qo’llanishi jihatidan muhim o’rin egallaydi. Garmonik funksiya matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri bo’lgan Rits tenglamasining yechimidir.
Rits tenglamasi uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni (Dirixle, Neyman) yechishda Bubnov-Galerkin funksiyasi muhim rol o’ynaydi. Ushbu kurs ishi ishi garmonik va subgarmonik funksiyalarning asosiy xossalarini o’rganishga bag’ishlangan bo’lib, subgarmonik funksiyani bir qiymatli analitik funksiyaning moduli yoki modulining logarfmi sifatida qaraladi.
Matematik fizika tenglamalarini yechishda Rits tenglamasi o’zining amaliy ahamiyati jihatidan muhim o’rin egallaydi. Tenglama yechimini topishda yechimning mavjudlik va yagonaligi, qo’yilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini tekshirish muhimdir. Tekislikda qaralayotgan Rits tenglamasi uchun Dirixli masalasining yechimini topishda yechim garmonik funksiya bo’lishi kerakligidan kompleks o’zgaruvchili bir qiymatli analitik funksiyadan bog’liqdir. Qaralayotgan soha murakkab ko’rinishga ega bo’lganda buni konform akslantirish orqali yechimni topish mumkin bo’lgan sohaga o’tkaziladi. Konform akslantirilgan sohada Rits tenglamasi uchun qo’yilgan Dirixle masalasi yechimi Bubnov-Galerkin funksiyasi orqali qulay ko’rinishda ifodalanadi. Ushbu malakaviy bitiruv ishida matematik fizika tenglamasini yechishda kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi usulidan foydalanish qulay imkoniyatlarga ega bo’lishligi ushbu mavzuning dolzarbligini ifodalaydi.


30
Bugungi kunda xususiy hosilali differensial teglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari keng qo’llanilmoqda. Masalaning yechimini topishning aniq usullarida
hisoblash jarayonida yo’l qo’yilgan xatoliklar masala yechimiga jiddiy ta’sir
ko’rsatadi. Shuning uchun ham taqribiy usullardan hisoblanmish chekli ayirmalar hamda variatsion usullar bugungi kunda ommabop usullardan hisoblanadi.
Ushbu kurs ishini bajarish davomida quyidagi ishlar amalga oshirildi:
 Xususiy hosilali differensial tenglamalarni chekli ayirmalar bilan almashtirish ;
 Rits tenglamasi uchun Dirixle masalasini ko`rib chiqish;
 Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani ko`rib chiqish;
 Dirixle printsipini qo`llash;
 Xos qiymatlar to`g`risidagi masalani ko`rib chiqish;
 Minimizatsiyalovchi ketma-ketliklarni qo`llash;
 Rits usulini qo`llash;
 Xos qiymatlar to`g`risidagi masalaning taqribiy yechimini tuzish;
 Bubnov-Galerkin usuli bilan tanishtirish;
 Integro-differensial tenglamalarni ko`rib chiqish;
 Kasr tartibli Riman-Liuvill integralini ko`rib chiqish;
 Liuvill hosilasi bilan ishlash;
 Ayrim ayniyatlar.

Zamonaviy hisoblash texnikasi va yig‘ilgan hisoblash tajribalari differensial tenglamalarning katta va murakkab masalalarini taqribiy yechish imkonini bermoqda. Sonli hisoblashlarda eng muhim jihat bu yetarlicha aniqlikda izlanayotgan taqribiy yechimga erishishdir. Bu aniqlikning muhim jihatlari esa usullar aniqligi, kiritilayotgan ma’lumotlarda yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar va yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladigan xatoliklardan qutilishdir.

Hozirgi kunda ko‘plab zamonaviy matematik paketlar mavjudki, ular oddiy
31

differensial tenglamalarni yetarlicha aniqlikda ham analitik va ham sonli yechib berish imkoniyatga ega. Buning uchun esa xususiy hosilali differensial tenglamalarni taqribiy yechishning hisoblash usullari va ularning xususiyatlari bilan yaqindan tanishishni talab qilinadi. Bu bilan birga shunday masalalar ham uchraydiki, ularni mavjud usullar bilan emas, balki ularning modifikatsiyasi, yangi uslubi va algoritmi bilan yechish lozim bo‘ladi. Umuman olganda, xususiy hosilali differensial tenglama bilan berilgan chegara-viy masala: yagona yechimga ega; yechimga ega emas; bir nechta yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi mumkin.