Kurs ishi mavzu: Chekli ayirmalar usuli

2. Xos kiymatlar to`g`risidagi masala. Chegarasi bo`laklari silliq Z dan iborat bo`lgan chegaralangan sohada
(87)
tenglamaning xos sonlari va xos funksiyalarini aniqlash talab qilinadi, ya`ni ning shunday qiymatlarini topish kerakki, bularda (87) tenglama D sohada bir jinsli
(88)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi trivial bo`lmagan yechimlarga ega bo`lsin va bu yechimlar tuzilsin.
(87), (88) masalaning eng kichik xos soni quyidagi ikkinchi variatsion masalani yechish natijasida hosil qilinadi: (88) shartni kanoatlantiruvchi mumkin bo`lgan funksiyalar orasidan shunisi topilsinki, buning uchun

funksional eng kichik qiymatni qabul qilsin, bu yerda
15

Haqiqatan ham, ikkinchi variatsion masalaning yechimi bo`lsin, shu bilan birga (i) ning eng kichik qiymati
(89)
bo`lsin. Mumkin bo`lgan funksiyalar sinfi uchun, bu yerda ixtiyoriy o`zgarmas, esa (83) shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy mumkin bo`lgan funksiya

tengsizlikka ega bo`lamiz, bu yerda

funktsiya bo`lganda minimumga ega bo`lgani uchun

Bundan (89)ga asosan, bo`lgani uchun
(90)
tenglikni xosil qilamiz. funksiyalar va soha chegarasining silliqligi (86) formulalarni qo`llash imkoniyatini beradi deb faraz qilamiz. U holda

da nolga teng bo`lgani sababli

Bu tenglikdan, ixtiyoriy bo`lganligi uchun ekanligi kelib chiqadi, ya’ni funksiya
16

(87) tenglamani qanoatlantiradi. Agar dan farqli xos son, esa bu songa mos

(87), (88) masalaning xos funksiyasi bo`lsa, (86) ga asosan

chunki funksiya (88) shartni qanoatlantiradi. Bu tenglikdan, (87), (88) masalaning xos sonlari o`rtasida son eng kichigi ekanligi kelib chiqadi. Agar Dirixle integrali o`rniga ushbu

kvadratik funksionalni qaralsa xam yuqorida aytilganlar o`z kuchini saqlab qoladi.
Integral ostidagi ifoda koeffitsiyentlari yetarli silliq bo`lgan, ushbu

shartni qanoatlantiruvchi kvadratik formadan iborat, bunda - xaqiqiy o`zgarmas. funksional uchun Eyler tenglamasi quyidagicha yoziladi:

yoki

bunda