Kurs ishi mavzu: Chekli ayirmalar usuli

3. Ayrim ayniyatlar

1. 
   Agap va
   bo`lsa, u holda deyarli hamma (a,b) da
   

(108)
munosabat o`rinli bo`ladi.

24

tenglik xosil bo`ladi.
Ichki integralda almashtirish bajaramiz, u xolda

Shunday qilib,

Bu tenglikdan, gipergeometrik funksiya birinchi ikki parametrga nisbatan simmetrik bo`lgani uchun, (108) ayniyat kelib chiqadi.
2) Agap va
bo`lsa, u holda deyarli hamma (a,b) da quyidagi munosabatlar o`rinli bo`ladi:
(109)
formulalar birinchisining chap tomonini orqali belgilab, (98) va (101) formulalarga asosan

25


tenglikka ega bщёlamiz. Bundan

formulalarning ikkinchisiga muvofiq

va munosabatlardan foydalansak, ushbu

tenglikni hosil qilamiz. Xuddi shunga o`xshash, (109) formulalarning ikkinchisi isbotlanadi.
Agar (109) da ni ga almashtirib, deb hisoblasak, quyidagi formulalar kelib chiqadi:

26

3. 
   bo`lsin. U holda ushbu
   

(110)
ayniyatlar o`rinli bo`ladi. Bu yerda integrallar Koshining bosh qiymati ma’nosida tushuniladi. Haqiqatan ham, (98) va (101) ta’riflarga asosan

Bu yerda birinchi juft integralga Dirixle formulasini qo`llaymiz, ikkinchisining esa o`rinlarini almashtiramiz, u holda

Ichki integrallarda almashtirishni bajarib, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz:

Ushbu

integralni qaraymiz. ni buyicha differensiallaymiz, u holda

27

Bu tenglikda da limitga o`tamiz:

Ma’lumki,

Bunga asosan, avvalgi tenglik

kurinishga keladi. Bundan (110) formulalarning birinchisi kelib chiqadi. Ikkinchisi ham xuddi shunday isbotlanadi.
4) Agap bo`lsau holda quyidagi ayniyatlar o`rinli bo`ladi:
(111)
Bu yerda ham xuddi (110) dagidek (111) ayniyatlarning o`ng tomonidagi integrallar Koshining bosh qiymati ma’nosida tushuniladi.

28
Ushbu ifodani qaraymiz:


tenglikni hosil qilamiz. (110) ayniyatdan foydalanamiz. Unda desak, ushbu
(112)
formulaga ega bo`lamiz. Endi

funksiyani tekshiramiz. bo`lganda

almashtirishni bajaramiz. U holda
(113)
(112) va (113) tengliklardan (111) ayniyatlarning birinchisi kelib chikadi.
Xuddi shunga o`xshash (111) ning ikkinchisi isbotlanadi.