Коррект бщлмаган масалаларни ечишнинг замонавий усуллари фанидан

2-МАOРУЗА: ИНТЕГРАЛ ТЕНГЛАМАЛАР ВА УЛАРНИНГ АСОСИЙ ТУРЛАРИ.

Режа

1. 
   Фредголpм тенгламалари.
   
2. 
   Волpтер тенгламалари.
   

Агар тенгламада номаoлум функция интеграл остида ыатнашса, бундай тенгламага интеграл тенглама дейилади.

Интеграл тенгламада номаoлум I-даражада ыатнашса, интеграл тенглама чизиыли дейилади, акс холда чизиысиз ёки ночизиыли дейилади.
Ыуйидаги чизиыли интеграл тенгламаларни ыараймиз.

1. 
   Фредголpмнинг I - тур интеграл тенгламаси.
   

(1), бу ерда K(x,s) ядро,
f(x) берилган функция, y(x) - номаoлум функция.

2. 
   Фредголpмнинг 2 - тур интеграл тенгламаси.
   

(2)
бу ерда - сонли параметр.
Агар (1) - (2) тенгламада f(x)=0 бщлса, бу тенгламалар бир жинсли тенгламалар, акс холда 1 жинсли бщлмаган интеграл тенгламалар дейилади.

3. 
   Волpтернинг 1 - тур интеграл тенгламаси.
   

(3)

4. 
   Волpтернинг 2 - тур интеграл тенгламаси.
   

(4)
Агар (3) ва (4) да
деб олсак,
Фредголpм тенгламалари хосил бщлади.
(5).
1 жинсли Фредглpмнинг 2-тур интеграл тенгламаси нолдан фарыли ечимга эга бщладиган нинг ыийматлари ядронинг хос ыийматлари, мос ечимлар хос функциялари дейилади.
Агар Фредглpмнинг 2-тур интеграл тенгламасида ядро K(x,s)=K(s,x) шартни ыаноатлантирса бу тенглама симметрик ядроли тенглама дейилади.
Хоссалари.

1. 
   Ъар ыандай симметрик ядро учун камида 1 та хос сон мавжуд бщлади.
   
2. 
   Симметрик ядронинг барча хос сонлари хаыиыий сонлар бщлади.
   
3. 
   Симметрик ядронинг иккита фарыли, хос сонларига мос хос функциялари ва лар щзаро ортогонал бщлади, яoни
   

Волpтер тенгламалари Фредглpм тенгламаларининг хусусий холи бщлиб, Фредглpм тенгламалари учун щринли бщлган натижалар Волpтер тенгламалари учун ъам щринли бщлади. Лекин баoзи холларда Волpтер тенгламаларини алохида текшириш аъамиятга эга бщлади.
Агар (3) Волpтернинг 1 - тур интеграл тенгламасида K(x,s) - ядро, f(x) функциялар узлуксиз дифференциалланувчи бщлиб, K(x,s)0 бщлса, уни Волpтернинг 2-тур интеграл тенгламасига келтириш мумкин.
(3) тенгламани х бщйича дифференциаллаймиз:

(6)
Волpтернинг 2 - тур интеграл тенгламаси. Бу ерда

Ыуйидаги чизиыли дифференциал тенгламаларга ыуйилган чегаравий масалани ыараймиз:
(1)
(2)
(3) деб белгилаймиз. (4)




(5)
(3), (4) ва (5) ни (1) га ыщямиз.
(6) Волpтернинг 2 - тур интеграл тенгламаси.

.

Таянч иборалари.

Интеграл тенглама, чизиыли тенглама, ночизиыли тенглама, Фредголpмнинг 1 - ва 2 - тур тенгламалари, Волpтернинг 1 - ва 2 - тур тенгламалари, ядро, хос ыиймат, хос функция, симметрик ядро.

Назорат учун саволлар.

1. 
   Интеграл тенгламага таoриф беринг.
   
2. 
   Чизиыли ва ночизиыли тенгламаларни таoрифланг.
   
3. 
   Фредголpмнинг 1 - тур тенгламасини ёзинг.
   
4. 
   Фредголpмнинг 2 - тур тенгламасини ёзинг.
   
5. 
   Волpтернинг 1 - тур тенгламасини ёзинг.
   
6. 
   Волpтернинг 2 - тур тенгламасини ёзинг.
   
7. 
   Симметрик ядроли тенгламага таoриф беринг.
   
8. 
   Хос сон ва хос функцияларни таoрифланг.
   
9. 
   Хос сон ва хос функцияларни хоссаларини ёзинг.
   
10. 
    Интеграл тенгламаларга келтирилувчи масалаларни ыщйинг.