Коррект бщлмаган масалаларни ечишнинг замонавий усуллари фанидан

ЩЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЩРТА МАХСУС ТАOЛИМ ВАЗИРЛИГИ

Фарьона Давлат университети

Коррект бщлмаган масалаларни

ечишнинг замонавий усуллари фанидан

МУАММОЛИ МАOРУЗАЛАР МАТНИ

(магистратуранинг дифференциал тенгламалар мутахассислиги учун)

Фарьона - 2005

Коррект бщлмаган масалаларни ечишнинг

замонавий усуллари

I босыич II семестр

5А46.01.02 дифференциал тенгламалар
мутахассислиги учун

Умумий соат: 60

Маoруза: 30
Амалий машьулот: 30

Тузувчи: З.А.Аъмедов - физика-математика

фанлари номзоди, доцент
Таыризчи: О.С.Зикиров - физика-математика
фанлари номзоди, ЩзМУ дифференциал тенгламалар кафедраси доценти
Ушбу муаммоли маoрузалар матни фаьона Давлат университети Дифференциал тенгламалар кафедрасининг 2004 йил 30 декабр 5-сонли йиьилишида муъокама ыилиниб маoыулланган ва кщпайтиришга тавсия этилган.
Кафедра мудири: проф. А.Ы.Щринов
1-МАOРУЗА: КОРРЕКТЛИК ТУШУНЧАСИ. ТИХИНОВ ТЕОРЕМАСИ.

Режа

1. 
   Адамар маoносидаги корректлик тушунчаси.
   
2. 
   Тихинов маoносидаги корректик тушунчаси.
   
3. 
   Регулярлаштирувчи масалалар оиласи.
   
4. 
   Тихинов теоремаси.
   

Математика-физика тенгламасига бирор масала ыщйилган бщлса, бу масаланинг ечими албатта, бошланьич ва чегаравий шартлардаги функцияларга боьлиы бщлади. Бу функциялар одатда тажриба йщли билан аниыланади ва шунинг учун жуда аниы топилиши мумкин эмас, чунки физик катталикларни щлчашда муайян щлчаш хатолиги мавжуд.

Бошланьич ва чегаравий шартларни хосил ыилишда йщл ыщйилган хатолар ечимга ыанчалик таoсир ыилишни аниылаш ъам мухим ахамиятга эгадир.
Бошланьич, чегаравий шартларни озгина щзгаришга ечимни жуда катта щзгариши мос келиши ъам мумкин. Бу холларда бундай ечимдан фойдаланиш амалда яхши натижалар бермаслиги мумкин.
Агар масалада бошланьич, чегаравий шартларни ва тенглама озод хадининг озгина щзгаришига ечимнинг ъам озгина щзгариши мос келса, бундай масала ечими турьун дейилади.
Агар математик-физика масаласининг ечими учун мавжуд, ягона ва турьун булса, масала коррект ыщйилган, агар бу шартларнинг истаган бири бажарилмаса, бундай масалага коррект ыщйилмаган масала дейилади.
Ушбу корректлик тушунчасини XX асрни бошида таниыли француз олим математиги Адамар киритган булиб, кейинчалик классик маoнодаги корректлик ёки Адамар маoносидаги корректлик деб аталди.
Классик маoнодаги нокоррект ыщйилган масалаларга физик ходисаларни математик талыин ыилишда дуч келган, лекин жуда яыин ваытларгача бу масалалар математикларни ыизиытирмаган. Чунки булар бу типдаги масалаларни ъеч ыандай физик ходисаларга боьликмас деб хисоблаганлар.
А.Н.Тихиновнинг геофизик текширишларида бошланьич ва чегаравий шартларни интерпретациялаш муаммолари вужудга келиши натижасида классик маoнода нокоррект масалаларни текширишга зарурат туьилди ва бундай масалаларга ыщйилган янги шартларни Тихинов щз ишларида кщрсатиб беради.
Тихинов биринчи марта щз ишларида нокоррект масалларга ыщйиладиган янги шартлар мос физик масалаларнинг мохиятидан келиб чиыишини кщрсатган.
Математика физика масалалари шартли маoнода коррект ёки Тихинов маoносида коррект ыщйилган дейилади, агар ыуйидаги шартлар бажарилса:
1). Олдиндан маoлумки, масаланинг ечими мавжуд ва функционал фазосининг берилган ыандайдир М тщпламга тегишли;
2). Масаланинг ечими М тщпламда ягона.
3). М тщпламда масаланинг ечими берилган функцияларга узлуксиз боьлиы, яoни ечим М тщпламдан ташыарига чиыариб юбормайдиган берилган функцияларнинг чексиз кичик щзгаришга ечимнинг чексиз кичик щзгариши мос келса.
М тщплам корректлик тщплами дейилади ва кщп холларда бу тщплам компакт тщпламдан иборат бщлади.
Математик физиканинг ыандайдир масаласини Тихинов маoносида корректлиги кщрсатилгандан кейин бу масалани таырибий ечимини ыуриш муаммоси вужудга келади.
Ноеоррект ыщйилган масалаларнинг таырибий ечимларини ыуриш усуллари ишлаб чиыилганига анча бщлди.
Тихинов 1963 йили нокоррект ыуйилган масалалар ечимига янгича ёндошишни ишлаб чиыди. Бу усулнинг назарияси регулярлаштирувчи оилалар тушунчаси билан чамбарчас боьлиы.
Айтайлик классик маoнода нокоррект ыщйилган математик физика масаласи берилган бщлсин.
 параметрга боьлиы бщлган масалалар оиласи ыаралаётган масалага нисбатан регулярлаштирувчи оила дейилади, агар ыуйидаги 2 шарт бажарилса:

1. 
   >0 сон учун масалалар оиласига ыарашли бщлган масала-классик коррект.
   
2. 
   Агар берилган функциялар шундай бщлсаки, бундай ыаралаётган нокоррект масала ечими мавжуд бщлса у ъолда 0 да масалалар оиласидаги худди шундай берилган функцияларга боьлиы масала ечимлари кетма-кетлиги нокоррект масаланинг ечимига интилади.
   

 ни регулярлаштириш параметри дейилади. Баoзида n бутун сонли параметрга боьлиы регулярлаштирувчи оилалар ыаралади ва бунда 2) шартда оилага ыарашли бщлган масала ечимини n да ыаралаётган нокоррект масала ечимига интилишлиги талаб этилади.
 ёки n параметрга боьлиы операторлар оиласи берилган нокоррект масалага нисбатан регулярлаштирувчи операторлар дейилади, агар ыуйидаги 2 шарт бажарилса:
1). учун оиладаги хар бир оператор узлуксиз бщлса.
2). холда бу ерда таырибий ечим
аниы ечим.
Тихинов теоремаси.
Корректли тщплами М сифатида компакт тщплам олинади. Бу холда ыаралаётган масала ечимининг турьунлиги масала ечимининг ягоналигидан келиб чиыади. Буни 1-бщлиб Тихинов исботлаган.
Теорема: Х,F-Банах фазолари бщлсин. А эса тщла узлуксиз оператор бщлиб, аниыланиш сохаси Х фазода, ыийматлар сохаси F фазода ётсин.МХ; М -компакт тщплам бщлсин.
Агар Ах=f (хХ,fF) (1) оператор тенгламанинг ечими ягона бщлса, у ъолда бу ечим М тщпламда турьун бщлади. Яoни >0 сон >0 
учун бщлади.