Коррект бщлмаган масалаларни ечишнинг замонавий усуллари фанидан

5-МАOРУЗА: ЛАПЛАС ТЕНГЛАМАСИ УЧУН КОШИ МАСАЛАСИ.

Режа

1. Масаланинг ыщйилиши.
2. Масаланинг нокорректлиги.
3. Турьунлик бахоси.
4. Таырибий ечимни ыуриш.
5. Интеграл тенгламага келтириш.

Ыуйидаги масалани ыараймиз:

D={(x,y) 0U(x,y)=0 (x,y)D, (1)
U(x,0)=f₁(x) U_y(x,0)=f₂(x), (2)
U(0,y)= U(,y)=0, (3)
бу ерда берилган функциялар
- Лаплас оператори.
(1)-(3) масала классик маoнода нокоррект ыщйилгандир. Масала нокорректлигини кщрсатайлик. Агар f₁(x)=U(x,0) бщлса, у ъолда масала ечими бщлади.
>0 сон учун N,C>0 сонлар мавжуд бщладики n>N бщлганда
бщлиб, учун
бщлади. Демак, масала ечими турьун эмас, бундан масаланинг нокорректлиги келиб чиыади.
(1)-(3) масала ечимини ыуйидагича ыидирамиз. у ъолда 2 та масалага келамиз.

1. 
   Масала: D соъада (1’) тенгламанинг
   

шартларни ыаноатлантирувчи (x,y) ечим топилсин.

2. 
   Масала: D соъада тенгламанинг
   

(x,0)=0, _y(x,0)= f₂(x) (2’’)
(0,y)= (,y)=0 (3’’)
шартларни ыаноатлантирувчи ечими топилсин. Энди 1- масалани ыарайлик. Бу масала турьунлигини характерловчи ыуйидаги теоремани келтирамиз.
1 - теорема: Агар (x,y) гармоник функция
(4)
(5)
шартларни ыаноатлантирса, у ъолда
(6) бщлади. Бу ерда
(7)
транцендент тенгламанинг ечими.
Энди 2 - масалани ыараймиз. (1”)(2”) - масала ечими турьунлигини характерловчи теоремани келтирамиз.
2 - теорема: Агар гармоник функция

шартларни ыаноатлантирса, у ъолда : бщлади.
Бу ерда -
транцендент тенгламанинг ечими.
Энди (1)-(3) масала ечими турьунлигини характерловчи ыуйидаги теоремани келтирамиз.
3 - теорема: Агар U(x,y) гармоник функция

шартларни ыаноатлантирса, у ъолда тенгсизлик щринли бщлади. Бу ерда ,
транцендент тенгламанинг ечими.
Регулярлаштирувчи операторлар оиласини (1’)-(3’) масаланинг таырибий ечимини ыуришга ыщлланишни кщриб чиыамиз.
Фараз ыилайлик (1’)-(3’) масаланинг тенгсизлик билан шартли корректлик тщплами аниыланган бщлсин.
Айтайлик f₂(x) функция  аниыликда берилган бщлсин яoни f_2(x) функция берилган бщлиб бщлсин. (1’)-(3’) масаланинг таырибий ечими сифатида ыуйидаги фугкцияни оламиз.
(11)
(11) тенглик билан аниыланган операторлар оиласи (1’)-(3’) нокорект масалага нисбатан регулярлаштирувчи оила бщлади. Бу ерда лар функциянинг Фурpе коэффицентлари. Энди ва лар орасидаги фарыни баъолаймиз.
(12)
(11) тенгликдан (13)
(14)
тенгликлар келиб чиыади. (14) функционални шарт остида шартли максимумга текширамиз.
(15)
(12),(13) ва (15) ифодалардан фойдаланиб тенсизликка эга бщламиз. Бунда n параметрни деймиз.
Бу ерда
Шундай ыилиб, да (1’)-(3’) масала тщла текширилди.
Энди (1’’)-(3’’) масаланинг таырибий ечимини ыуришни кщриб чиыамиз.
Айтайлик f₂(x)  гача аниыликда берилган бщлсин, яoни f₂(x) щрнига f_2(x) элемент берилган бщлиб.
Энди асосий (1)-(3) масалани ыараймиз. Фараз ыилайлик (1)-(3) масала шартли коррект ыщйилган ва тенгсизлик орыали корректлик тщплами аниыланган бщлсин.
Айтайлик f₁(x) ва f₂(x) функциялар  гача аниыликда берилган бщлсин, яoни (1)-(3) масала таырибий ечими сифатида ыуйидаги функцияни оламиз.

Бу ерда (1’)-(3’) масаланинг таырибий ечими
- (1’’)-(3’’) масаланинг таырибий ечими.
Энди ва лар орасидаги фарыни бахолаймиз.

Бу ерда биз юыорида кщрсатиб щтилган бахолашлардан фойдаландик.
Демак тенгсизликка эга бщлдик.
Бу ерда n параметрни n=[ (b)]+1 деб оламиз.
Бунда
Шундай ыилиб, (1)-(3) масала да текширилди.
Ыуйидаги ёрдамчи масалани ыараймиз.
D={(x,y) 0U(x,y)=0 (x,y)D (16) U(x,b)=(x) 0U(0,y)= U(,y)=0 (18) U_y(x,0)=f₂(x) (19)
Бу ерда (x), f₂(x) - берилган функциялар
 - Лаплас оператори
(16)-(19) масала Дрихле масаласи бщлиб, классик маoнода коррект ыуйилгандир. Бу масаланинг ягона ечимини Фурpе усулидан фойдаланиб ыуйидаги ыатор кщринишда топиш мумкин:
(20)
Бу ерда (21)

Энди нокоррект ыщйилаган (1)-(3) масала ечимини (20) ыатор кщринишда излаймиз. Бу ердаги (x) функцияни номаoлум функция деб ыараймиз. U(x,0)=f₁(x) шартда фойдаланамиз. У ъолда (21) тенгликдан фойдаланиб
(22) интеграл тенгламага эга бщламиз. Бу ерда

(22) Фредголpмнинг I - тур интеграл тенгламаси бщлиб, бу тегламани ечимини топиш масаласи нокоррект масаладир. Бу эса (1)-(3) масалани нокоррект масала эканлигини исботлайди.

Таянч иборалари.

Лаплас тенгламаси учун Коши масаласи, масаланинг нокорректлиги, турьунлик бахоси, таырибий ечим, интеграл тенглама.

Назорат учун саволлар.

1. 
   Лаплас тенгламаси учун Коши масаласини ыщйинг.
   
2. 
   Масалани нокорректлигини кщрсатинг.
   
3. 
   Асосий масала ечимини турьунлигини характерловчи теоремани келтиринг.
   
4. 
   Таырибий ечим билан аниы ечим орасидаги фарынинг бахосини келтиринг.
   
5. 
   Фредголpмнинг I -тур интеграл тенгламаси ва уни ядросини ёзинг.