Конспект лекций по цос

4. Билинейное z-преобразование – простое конформное отображение s-плоскости в z-плоскость – заключается в замене

s =  =  , (8)

где γ – постоянный множитель, значение которого не влияет на форму преобразования; его значение может быть равным γ = .
При билинейном преобразовании отсутствует эффект перекрытия участков спектра, присущий инвариантному преобразованию импульсной характеристики. Билинейное преобразование занимает особое место в практике проектирования.
Из 8) можно найти обратное соотношение
z = ( + s) / ( – s). (9)
Использование подстановки (8.38) обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Т(s) аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа) в передаточную функцию H(z) цифрового фильтра:
H(z) =Т(s) (10)
Рассмотрим преобразование (8). Каждой точке комплексной s-плоскости (s = ∑+ j Ω) ставится в соответствие определенная точка z-плоскости z = ехр(σ+j)Т.
Мнимая ось s-плоскости (s = j Ώ для –∞ < Ώ < ∞) отображается в единичную окружность z-плоскости z = ехр(jT).
При s = j Ώ из (8.40) получаем z = (γ+j Ώ)/( γ – j Ώ).
Последнее выражение можно представить в показательной форме
z = r е^j(Ώ)
– выделить модуль r = z| и аргумент (Ώ) = 2 arctg (Ώ/γ).
Очевидно, что r = 1.
При монотонном изменении Ώ от – ∞ до ∞ фазовый угол (Ώ) монотонно изменяется от – π до π, т. е. точка jΏ₁, расположенная на мнимой оси в s-плоскости, отображается в соответствующую точку
exp(j2arctg(Ώ₁/γ)).
В частности, для Ώ = 0 имеем z = exp(j 0) = l, для Ώ = ∞ получаем
z = eхр(j π) = – 1 и для Ώ = – ∞ имеем z = exp(–j π) = – 1.
Левая половина s-плоскости
Re(s) = Re (∑ + j Ω) < 0
отображается в часть z-плоскости внутри единичного круга (|z|<1). Действительно, при Rе(s) < 0 имеем ∑ < 0. Тогда из (8.40) можно получить
(12)
Последнее выражение можно представить в показательной форме, т.е. выделить модуль r и аргумент 
z = r e^jw(Ώ), (13)
Значение ∑ < 0, поэтому модуль числителя в (8.42) всегда меньше модуля знаменателя, т.е. r = |z| < 1.



Рис.2. Билинейное преобразование

Отображение мнимой оси и левой половины s-плоскости в единичную окружность и часть z-плоскости внутри единичного круга показаны на рис. 8.2. Здесь важно учитывать два обстоятельства.

Во-первых, все полюсы устойчивого аналогового прототипа расположены в левой половине s-плоскости, поэтому преобразование приведет к устойчивому цифровому фильтру.
Во-вторых, так как мнимая ось s-плоскости отображается на единичную окружность z-плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ |T(jΏ)| аналогового фильтра сохраняются и в АЧХ |H(e^j)| цифрового фильтра. Сохраняется также и неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот. Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры. Например, аналоговый фильтр-прототип нижних частот с неравномерностью АЧХ в полосе пропускания ΔА_п и отклонением АЧХ от нуля в полосе непропускания ΔА₃ преобразуется в соответствующий цифровой фильтр нижних частот с параметрами ΔА_п и ΔА₃.
Ώ
w
0 /4
Рис.3. Деформация шкалы частот

Недостаток билинейного преобразования – соотношение между «аналоговыми» частотами Ώ и «цифровыми» частотами w, которое можно получить из (8.38), нелинейное:

(14)
где w = /_д – нормированная «цифровая» частота.
При переходе от аналогового прототипа к цифровому фильтру деформируется шкала частот – рис. 8.3, 8.4.
Деформация шкалы частот частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ), аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной функции, не приводит к нарушению избирательных свойств фильтра при билинейном преобразовании. Деформацию шкалы частот можно скомпенсировать с помощью предыскажений в аналоговом фильтре. Параметр γ в подстановке (8.38) выбирается на основании соотношения
γ = ctg(_г.п T/2) = ctg(w_г.п). (8.45)
Для получения цифрового фильтра НЧ с граничной частотой полосы пропускания _г.п (w_г.п) надо в качестве прототипа использовать аналоговый фильтр с нормированной АЧХ – с частотой среза Ώ_с = 1.
При билинейном преобразовании передаточная функция цифро­вого фильтра Н(z) рассчитывается с помощью алгебраической под­становки (8.38). Из этого соотношения видно, что порядки знаменателей функций Н(z) и Н(s) совпадают, но порядки числителей могут отличаться.
Передаточная функция Н(s) = 1/(s + a) имеет числитель нулевого порядка, а знаменатель — первого по­рядка. В то же время получаемая методом билинейного преобра­зования функция