Конспект лекций по цос

Н(z) =
имеет и числитель, и знаменатель первого порядка. Причина этого в том, что функция Н(s) имеет нуль на бесконечности (s = ), который при билинейном преобразовании отображается в точку z = 1.

Рис. 4. Деформация частотной шкалы
при билинейном преобразовании
В единичную окружность на z-плоскости отображается вся ось jΏ из s-плоскости, поэтому эффекты, связанные с наложениями в частотной характеристике цифрового фильтра, характерные для метода инвариантного преобразования импульсной характе­ристики, в данном случае отсутствуют. Однако соотно­шение между частотами аналогового фильтра Ώ и цифрового фильтра w оказывается существенно нелинейным. Характер этой нелинейности можно увидеть, положив в (8.38) z = e^{j T} и s = jΏ, что дает (8.44). Это соотношение представлено на рис. 8.3 для случая Т = 2. При небольших  отображение почти линейно, однако для основной части частотной шкалы оно существенно нелинейно и сильно огра­ничивает область применения билинейного преобразования.
Амплитудная характеристика преобразуемого аналогового фильтра должна быть ступенчатообразной функцией часто­ты, так как в противном случае частотная характеристика цифрового фильтра будет представлять собой деформированную характе­ристику аналогового фильтра. По этой причине, например, били­нейное преобразование нельзя использовать для преобразования аналогового дифференцирующего фильтра в цифровой дифферен­циатор. Существует, правда, довольно большой класс фильтров, для которых частотная деформация, описываемая соотношением (8.44), может быть скомпенсирована. К ним относятся фильтры нижних и верхних частот, полосовые и режекторные. Метод ком­пенсации деформации достаточно прост – рис. 4.
Совокупность характерных частот среза цифрового фильтра известна. Пусть в данном случае их будет четыре: ₁, ₂, ₃ и ₄ – рис. 8.4 (справа внизу). Используя нелинейное соотношение (8.44) между частотными шкалами цифрового и аналогового фильт­ров, пересчитаем все частоты среза цифрового фильтра в час­тоты среза аналогового фильтра, которые будут равны Ώ₁, Ώ₂, Ώ₃, Ώ₄ – рис. 4 (слева вверху). Теперь рассчитаем аналоговый фильтр, все характерные частоты которого совпадали бы с этими пересчитанными частотами среза цифрового фильтра. Амплитудная характеристика такого аналогового фильтра изображена на – рис. 4 слева вверху. Выполнив билинейное преобразование этого аналогового фильтра, получим цифровой фильтр, все частоты среза которого будут совпадать с заданными.
Билинейное преобразование обеспечивает простое отобра­жение между аналоговыми и цифровыми фильтрами и является алгебраическим преобразованием, при котором ось jΏ полностью отображается в единичную окружность на z-плоскости. Кроме того, ему присуще свойство отображать физически реализуемый устойчивый аналоговый фильтр также в физически реализуемый и устойчивый цифровой фильтр. Более того, аналоговые широкопо­лосные фильтры с резкими скатами могут быть отображены в широ­кополосные цифровые фильтры с резкими скатами без искажений частотной характеристики, связанных с наложениями, которые характерны для метода инвариантного преобразования импульс­ной характеристики. Недостаток метода билинейного преобразо­вания в том, что эффекты нелинейности соотношения между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров удается учесть лишь в том случае, когда частотпая характеристика аналогового фильтра имеет вид ступенчатообразной функции. Кроме того, при билинейном преобразовании ни импульсная, ни фазовая характеристики аналогового и цифрового фильтров не будут совпадать.
В таблице 1 приведены аналогичные формулы для преобразований АФНЧ  ЦФВЧ, АФНЧ  ЦПФ, АФНЧ  ЦРФ. В преобразованиях АФНЧ  ЦПФ и АФНЧ  ЦРФ в формулах замены переменной и связи «аналоговых» частот с «цифровыми» частотами имеется дополнительный параметр , который рассчитывается по формулам, приведеным в соответствующей графе таблицы. Этот параметр выбирается с учетом деформации частотной шкалы. Например, цифровой полосовой БИХ-фильтр должен так преобразовывался в аналоговый ФНЧ, чтобы w_г.п2 преобразовывалась в Ώ = Ώ_с = 1, w_г.п1 преобразовывалась в Ώ = –Ώ_с = –1, а некоторая точка из диапазона [w_г.п1, w_г.п2], т.e. из полосы пропускания, преобразовывалась в Ώ = 0. Деформацией частотной шкалы при преобразовании обусловлено то, что граничная частота Ώ_k определяется по двум формулам и из двух значений Ώ'_k и Ώ″_k выбирается меньшее.
С помощью формул в таблице 8.1 можно рассчитать параметры преобразования, граничные «аналоговые» частоты нормированного АФ-прототипа нижних частот (Ώ_с = 1) для четырех типов БИХ-фильтров, требования к граничным «цифровым» частотам таких фильтров. Граничные «цифровые» частоты w_г.з1, w_г.п1, w_г.п2 и w_г.з2 для полосового фильтра приведены на рис. 8.6.
Параметры преобразования γ и α рассчитываются на основе заданных значений граничных частот:
γ = ctg(π(w_г.п2 – w_г.п1));
α = [cos π(w_г.п2 + w_г.п1)] / [cos π(w_г.п2 – w_г.п1)].
Рассчитанные значения γ и α позволяют в качестве прототипа использовать нормированный аналоговый ФНЧ с частотой среза Ώ_с = 1. Напомним, что АЧХ фильтра – четная функция частоты A(Ώ) = A(–Ώ).

Рис. 5. Преобразование АФНЧ  ЦФНЧ.

Преобразование аналогового ФНЧ-прототипа в полосовой цифровой фильтр (рис.8.6) приводит к преобразовыванию «аналоговой» частоты

Ώ = – Ώ_с = –1 в «цифровую» частоту w_г.п1 = 0,1, а Ώ_с = 1 преобразовывается в w_г.п2 = 0,2. Для проверки можно воспользоваться формулой (из таблицы 8.1), устанавливающей связь между «аналоговыми» и «цифровыми» частотами, подставив в нее в качестве w значения w_г.п1 = 0,1 и w_г.п2 = 0,2.
Граничная частота полосы непропускания аналогового ФНЧ рассчитывается на основе заданных значений граничных частот w_г.з1 и w_г.з2. Обратите внимание на то, что цифровой частоте w_г.з1 соответствует «отрицательная» аналоговая частота Ώ^'_k, a частоте w_г.з2 – «положительная» частота Ώ_k" – рис. 6.
Поскольку АЧХ аналогового ФНЧ симметрична относительно Ώ = 0, необходимо в качестве значения Ώ_k выбрать наименьшее по модулю из значений Ώ^'_k и Ώ″_k. Если в передаточной функции аналогового ФНЧ с граничными частотами Ώ_c и Ώ_k заменить переменную
s = γ(1 – 2 αz ^–1 + z ^–2),
то получим цифровой БИХ-фильтр, у которого граничные частоты w_г.з1, w_г.п1 и w_г.п2 соответствуют заданным, w^*_г.з2 – реальная граничная частота полосы задерживания меньше, чем заданное значение w_г.з2 – рис. 8.6. Это, как правило, допустимо, поскольку избирательные свойства полученного фильтра лучше заданных требований – ширина переходной полосы (полосы «расфильтровки») становится меньше.



Рис. 6. Преобразование АФНЧ  ЦПФ.