Kirish kurs ishning dolzarbligi

KIRISH
Kurs ishning dolzarbligi: Bernulli sxemasi uchun klassik limit teoremalar о‘rganish va ishda Y.Bernullining katta sonlar qonuni va uning turli xil umumlashmalari, Muavr va Laplas tomonidan olingan klassik natijalar о‘rganish.

Kurs ishning maqsadi: Bernulli sxemasi uchun limit teoremalarni va katta sonlar konuni, Muavr-Laplasning lokal limit va integral teoremalari о‘rganishdan iborat

Kurs ishning vazifasi:

Bog‘liqsiz tajribalar seriyasini tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlari о‘rganish

Bernulli sxemasi uchun limit teoremalar muqarrarlik prinsipi va katta sonlar konuni о‘rganish

Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalarini о‘rnanish.

Kurs ishning ilmiyligi va ahamiyati:

Tasodifiy hodisalar, о‘z navbatida shunday empirik fenomenlarki, ular berilgan muayyan shartlar kompleksida quyidagicha xarakterlanadi va

ular uchun deterministik doimiylik yо‘q, ya’ni ular ustida olib borilgan kuzatishlar har doim ham bir xil natijaga olib kelmaydi

Ehtimolliklar nazariyasining predmeti tasodifiy hodisalarni matematik analiz qilishdan iborat va ayni vaqtda ular statistik doimiylik xossasiga ega (bu holat chastotalarning statistik turg‘unligida namoyon bо‘ladi).

Ehtimolliklar nazariyasining fan sifatida paydo bо‘lishi XVII asrning о‘rtalariga borib taqaladi va bu jarayon Paskal (1623–1662), Ferma (1601–1665), Gyuygens (1629–1695) kabi olimlarning nomlari bilan bog‘liq. Biroq, qimor о‘yinlarida yutish imkoniyatlarini hisoblash bilan bog‘liq ayrim masalalar ilgariroq, XV–XVI asrlarda italyan matematiklari (Kardano, Pacholi, Tartalya va boshqalar) tomonidan qaralgan. Bu kabi masalalarni yechishning dastlabki umumiy usullari Paskal va Fermaning 1654 yilda boshlangan mashhur yozishmalarida va Gyuygensning 1657 yilda nashr etilgan, ehtimolliklar nazariyasi bо‘yicha birinchi kitob bо‘lgan, «De Ratiociniis in Aleae Ludo» («Qimor о‘yinlari hisoblari haqida») nomli kitobida bayon qilingan.

Zamonaviy ehtimolliklar nazariyasi shakllanishining haqiqiy tarixi Y.Bernulli (1654–1705) tomonidan 1713 yilda chop etilgan «Ars Conjectandi» («Tasavvur san’ati») nomli ishidan boshlanadi. Bu ishda Bernulli ehtimolliklar nazariyasining birinchi limit teoremasi bо‘lgan katta sonlar qonunini bayon qiladi va uning tо‘liq isbotini beradi. Biroz keyinroq, 1730 yilda Muavr (1667–1754) chop etgan «Miscellanea Analytica Supplementum» (taxminiy tarjimasi «Analitik usullar» yoki «Analitik qorishma») nomli ishida ehtimolliklar nazariyasining markaziy limit teoremasi ilk bor simmetrik Bernulli sxemasi uchun bayon qilingan va isbotlangan.

Ta’kidlash о‘rinliki, Y.Bernulli birinchi bо‘lib takroriy tajribalarning cheksiz ketma-ketligini qarashning muhim jihatligini sezgan (Bernulli sxemasining asosiy g‘oyasi) va hodisaning ehtimolligi bilan uning chastotasi orasidagi farqni aniq asoslagan. Muavrning ehtimolliklar nazariyasi taraqqiyotidagi xizmatlari shundan iboratki, u hodisalar uchun bog‘liqsizlik, matematik kutilma, shartli ehtimollik kabi tushunchalarni ta’riflagan.

1812 yilda Laplasning (1749–1827) «Theorie Analytique des Probabilités» («Ehtimolliklarning analitik nazariyasi») nomli yirik traktati nashrdan chiqdi. Bu asarda u о‘zining va о‘zidan oldingi olimlarning ehtimolliklar nazariyasi sohasidagi natijalarini e’lon qilgan. U, xususan, Muavr teoremasini Bernulli sxemasining umumiy holi uchun umumlashtirgan. Bu bilan Laplas Muavr natijasining ahamiyatini tо‘la ochib bergan. Laplasning ehtimoliy usullarning xatoliklar nazariyasiga tadbiqlari bо‘yicha ishlari ehtimolliklar nazariyasi rivojiga muhim hissa bо‘lib qо‘shildi.

Bitiruv malakaviy ish ikkita bobdan iborat. Har bir bob paragraflarga bо‘lingan. Birinchi bobda bog‘liqsiz tajribalar seriyasi qaralgan. Bu bob ikkita paragrafdan iborat bо‘lib. Birinchi paragraf tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlariga bag‘ishlanadi, ikkinchi paragrafda Bernulli sxemasi qaralgan va Bernulli formulasi keltirib chiqarilgan. Bu bobda ikkita teorema isbotlangan. Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi bо‘yicha ta tajribada muvaffaqiyatlar soni ning toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi.

Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu

formula о‘rinli.

Ikkinchi teoremada ma’lum shartlar bajarilganda Bernulli taqsimotining tajribalar soni cheksiz ortganda, ya’ni da ushbu

Puasson qonuniga yaqinlashishi isbotlangan.

Ishning ikkinchi bobi katta sonlar qonuniga bag‘ishlangan. Bu bobda Chebishev, Bernulli va Xinchin tipidagi katta sonlar qonuni о‘rganiladi. Bu qonunning kuchaytirilgan varianti bо‘lgan kuchaytirilgan katta sonlar qonuni tahlil etiladi.

Muavr va Laplasning lokal hamda integral teoremalari о‘rganiladi. Bunday teoremalar Muavr-Laplas teoremalari deb ataladi. Ushbu bobning asosiy natijalarini keltiramiz. Deyarli ravshanki,

.

Tabiiyki, sonning qiymati atrofida shunday soha topiladiki, bu sohada

.

Bu mulohazaning tо‘g‘riligi quyidagi lokal limit teoremada о‘z aksini topadi.

Teorema 3.1. Ushbu



belgilashni kiritaylik. Agar tayinlangan va , bо‘lsin. U holda nomerning , , tengsizlik bajariluvchi har qanday о‘zgarishi uchun



munosabat о‘rinli.

Quyidagi belgilashni kiritib olaylik:

,

Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning rо‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning rо‘y berish ehtimolligi bо‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о‘rinli:

.

Bitiruv malakaviy ishning natijalarini isbotlashda ehtimoliy asimptotik analiz usullaridan foydalanilgan.