Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

Reja:

Kirish

1. Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari

2. Bog`lanmagan tajribalar. Bernulli formulasi

3. Puasson teoremalari

Xulosa

Adabiyotlar

KIRISH

Tasodifiy hodisalar, о‘z navbatida shunday empirik fenomenlarki, ular berilgan muayyan shartlar kompleksida quyidagicha xarakterlanadi va

ular uchun deterministik doimiylik yо‘q, ya’ni ular ustida olib borilgan kuzatishlar har doim ham bir xil natijaga olib kelmaydi

Ehtimolliklar nazariyasining predmeti tasodifiy hodisalarni matematik analiz qilishdan iborat va ayni vaqtda ular statistik doimiylik xossasiga ega (bu holat chastotalarning statistik turg‘unligida namoyon bо‘ladi).

Ehtimolliklar nazariyasining fan sifatida paydo bо‘lishi XVII asrning о‘rtalariga borib taqaladi va bu jarayon Paskal (1623–1662), Ferma (1601–1665), Gyuygens (1629–1695) kabi olimlarning nomlari bilan bog‘liq. Biroq, qimor о‘yinlarida yutish imkoniyatlarini hisoblash bilan bog‘liq ayrim masalalar ilgariroq, XV–XVI asrlarda italyan matematiklari (Kardano, Pacholi, Tartalya va boshqalar) tomonidan qaralgan. Bu kabi masalalarni yechishning dastlabki umumiy usullari Paskal va Fermaning 1654 yilda boshlangan mashhur yozishmalarida va Gyuygensning 1657 yilda nashr etilgan, ehtimolliklar nazariyasi bо‘yicha birinchi kitob bо‘lgan, «De Ratiociniis in Aleae Ludo» («Qimor о‘yinlari hisoblari haqida») nomli kitobida bayon qilingan.

Zamonaviy ehtimolliklar nazariyasi shakllanishining haqiqiy tarixi Y.Bernulli (1654–1705) tomonidan 1713 yilda chop etilgan «Ars Conjectandi» («Tasavvur san’ati») nomli ishidan boshlanadi. Bu ishda Bernulli ehtimolliklar nazariyasining birinchi limit teoremasi bо‘lgan katta sonlar qonunini bayon qiladi va uning tо‘liq isbotini beradi. Biroz keyinroq, 1730 yilda Muavr (1667–1754) chop etgan «Miscellanea Analytica Supplementum» (taxminiy tarjimasi «Analitik usullar» yoki «Analitik qorishma») nomli ishida ehtimolliklar nazariyasining markaziy limit teoremasi ilk bor simmetrik Bernulli sxemasi uchun bayon qilingan va isbotlangan.

Ta’kidlash о‘rinliki, Y.Bernulli birinchi bо‘lib takroriy tajribalarning cheksiz ketma-ketligini qarashning muhim jihatligini sezgan (Bernulli sxemasining asosiy g‘oyasi) va hodisaning ehtimolligi bilan uning chastotasi orasidagi farqni aniq asoslagan. Muavrning ehtimolliklar nazariyasi taraqqiyotidagi xizmatlari shundan iboratki, u hodisalar uchun bog‘liqsizlik, matematik kutilma, shartli ehtimollik kabi tushunchalarni ta’riflagan.

1812 yilda Laplasning (1749–1827) «Theorie Analytique des Probabilités» («Ehtimolliklarning analitik nazariyasi») nomli yirik traktati nashrdan chiqdi. Bu asarda u о‘zining va о‘zidan oldingi olimlarning ehtimolliklar nazariyasi sohasidagi natijalarini e’lon qilgan. U, xususan, Muavr teoremasini Bernulli sxemasining umumiy holi uchun umumlashtirgan. Bu bilan Laplas Muavr natijasining ahamiyatini tо‘la ochib bergan. Laplasning ehtimoliy usullarning xatoliklar nazariyasiga tadbiqlari bо‘yicha ishlari ehtimolliklar nazariyasi rivojiga muhim hissa bо‘lib qо‘shildi.

. Birinchi bobda bog‘liqsiz tajribalar seriyasi qaralgan. Birinchi paragraf tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimotlariga bag‘ishlanadi, ikkinchi paragrafda Bernulli sxemasi qaralgan va Bernulli formulasi keltirib chiqarilgan. Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi bо‘yicha ta tajribada muvaffaqiyatlar soni ning toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi.

Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu



formula о‘rinli.

Ikkinchi teoremada ma’lum shartlar bajarilganda Bernulli taqsimotining tajribalar soni cheksiz ortganda, ya’ni da ushbu

Puasson qonuniga yaqinlashishi isbotlangan.

Ishning ikkinchi bobi katta sonlar qonuniga bag‘ishlangan. Bu bobda Chebishev, Bernulli va Xinchin tipidagi katta sonlar qonuni о‘rganiladi. Bu qonunning kuchaytirilgan varianti bо‘lgan kuchaytirilgan katta sonlar qonuni tahlil etiladi.

Muavr va Laplasning lokal hamda integral teoremalari о‘rganiladi. Bunday teoremalar Muavr-Laplas teoremalari deb ataladi. Ushbu bobning asosiy natijalarini keltiramiz. Deyarli ravshanki,

.

Tabiiyki, sonning qiymati atrofida shunday soha topiladiki, bu sohada

.

Bu mulohazaning tо‘g‘riligi quyidagi lokal limit teoremada о‘z aksini topadi.

Teorema 3.1. Ushbu



belgilashni kiritaylik. Agar tayinlangan va , bо‘lsin. U holda nomerning , , tengsizlik bajariluvchi har qanday о‘zgarishi uchun



munosabat о‘rinli.

Quyidagi belgilashni kiritib olaylik:

,

Teorema 3.2. Bernulli sxemasining dastlabki ta tajribasida hodisaning rо‘y berishlari soni va tajribalarning har birida bu hodisaning rо‘y berish ehtimolligi bо‘lsin. U holda quyidagi approksimatsiya о‘rinli:

.

.

1. TASODIFIY MIQDORLAR VA ULARNING TAQSIMOTLARI

Tajriba natijasiga kо‘ra biror qiymatlar tо‘plamidan tasodifiy ravishda bitta qiymat qabul qiladigan о‘zgaruvchi miqdorga tasodifiy miqdor deb ataladi.

Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar chekli yoki cheksiz ketma-ketlik kо‘rinishida yozish mumkin bо‘lsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi.

Biror chekli yoki cheksiz sonli oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bо‘lgan tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy miqdor deb ataladi.