Bernulli formulasi va Muavr-Laplas, Puasson teoremalari

1. BERNULLI SXEMASI
Bog‘liqsiz tajribalar. Bernulli taqsimoti Faraz qilaylik muayyan shatrlarda ta bog‘liqsiz tajribalar о‘tkazilayapti. Bu tajribalarning har birida ikki xil natija kutiladi: ehtimollik bilan «muvaffaqiyat» va ehtimollik bilan «muvaffaqiyatsizlik». Bunday tajribalar seriyasi Bernulli sxemasi deb ataladi. (Tajribalar seriyasida ishlatilayotgan «muvaffaqiyat» va «muvaffaqiyatsizlik» terminlari an’anaviy atamalar bо‘lib, biz uchun ularning nomlaridan kо‘ra tajriba natijalari muhim.)

Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar sonini deb belgilasak, bu kattalik diskret ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdor bо‘ladi. Darhaqiqat, agar tajriba muvaffaqiyat bilan tugasa, , aks holda deymiz va vektorni qaraymiz. Bu vektorni chekli ehtimollik fazosining nuqtasi sifatida qaraymiz: . Bu nuqtaning berilishi barcha ta tajribaning natijalarini aniqlaydi va aksincha. Shunday qilib, miqdor tasodifiy tajriba natijasining funksiyasidir va

.

Endi ehtimollik fazosida ehtimollikni aniqlaymiz. Barcha ta tajriba о‘zaro bog‘liqsiz va muvaffaqiyat ehtimolligi har bir tajribada bir xil ekanligidan

, (1.1)

bu yerda son tajribada natijaning ehtimolligidir; .

Shartga kо‘ra

.

Demak, (1.1) formulaning о‘ng tomonida ga teng kо‘paytuvchilarning soni larning orasidagi birlar lar sonicha, ga teng kо‘paytuvchilarning soni esa larning orasidagi nollar lar sonicha. YA’ni

. (1.2)

Yuqoridagi mulohazalar asosida tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlaymiz:

(1.3)

(1.2) formulaga kо‘ra (1.3) tenglikning о‘ng tomonidagi har bir qо‘shiluvchi uchun

tenglikka ega bо‘lamiz. Bu qо‘shiluvchilar soni esa roppa-rosa

ta. Haqiqatdan ham ta komponentasi lardan va ta komponentasi lardan iborat bо‘lgan о‘lchovli vektorlar soni ga teng. Chunki bunday vektorlarning soni ularning komponentalarida ta birlarni joylashtirish orqali aniqlanadi va ma’lumki, birlarning joylari sondagi turli xil usul bilan tanlanishi mumkin.

Demak, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

. (1.4)

Nyuton binomi formulasidan foydalansak, (1.4) formulaga kо‘ra fuyidagiga ega bо‘lamiz:

.

Oxirgi tenglikni hosil qilishda biz ehtimollikning shartidan foydalandik. Unga kо‘ra

.

Shunday qilib,

. (1.5)

Yuqoridagi munosabatdan

ekanligi kelib chiqadi.

Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi bо‘yicha ta tajribada muvaffaqiyatlar sonining toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi.