Kirish I. Bob chiziqli tengsizliklar sistemasi

Kurs ishi mavzusining vazifalari: 1.Oliy ta’lim muassasalarida “Matritsaning rangi haqidagi teorema va uning tatbiqlari” mavzusidagi darslarni tashkil etish.

2. 
   Matrisaning muhim sinflarining xossalarini o’rganib, ularni elementar masalalar yechishga tatbiq qilish.
   

Kurs ishi mavzusining mazmuni: Mazkur kurs ishi Kirish, 4ta asosiy qismdan, xulosa va adabiyotlardan tashkil qilinadi.

I.BOB Chiziqli tengsizliklar sistemasi
1.1 Chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimi, manfiymas, musbat yechimlar
Nuqtalar vektorlar ustida amallar.Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini qaraymiz. U holda tekislikdagi har bir M nuqtaga uning koordinatalari deb ataluvchi ikkita x va y haqiqiy son mos keladi va buni biz M(x,y) koʻrinishida belgilaymiz.
Nuqtalarni qo’shish va songa ko’paytirish amallarini vektorlardagi singari aniqlaymiz, ya’ni M₁(x₁,y₁) va M₂(x₂,y₂) nuqtalar berilgan bo’lsa, u holda M₁+M₂=(x₁+x₂,y₁+y₂) demak nuqtalarni qo’shish ularning bir xil rusumli koordinatalarini qo’shish bilan aniqlanadi.
M (x,y) nuqtani ixtiyoriy k soniga ko’paytirish KM=(kx₁,ky₁) qoida bilan aniqlanadi.
Bu amallar geometrik nuqtai nazardan juda sodda talqin qilinadi. Koordinatalar boshini O desak M₁+M₂ yig’indi OM₁ va OM₂ kesmalarga qurilgan parallellogramning to’rtinchi uchidan iborat.(1-shakl)

KM=M’ nuqta k>0 bo’lsa OM nurda yotadi, agarda k<0 bo’lsa nurning to’ldiruvchi qismida yotadi va OM’=|k| OM bo’ladi (2-shakl).

Nuqtalar ustida amallarni bunday aniqlash ba’zi geometrik tasdiqlarni algebra tiliga ko’rishga qulay. Ba’zi bir misollar keliramiz.
1) M₁M₂ kesma S₁M₁+S₂M₂ ko’rinishdagi barcha nuqtalardan tashkil topgan. Bunda S₁,S₂ ixtiyoriy S₁+S₂=1 shartni qanoatlantiruvchi manfiy bo’lmagan sonlar.
Bu tasdiqni isbotlash uchun M₁M₂ kesmadagi ixtiyoriy M nuqtani qaraymiz.M nuqtadan OM₁ va OM₂ larga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazib OM₁ kesmada N₁ va OM₂ kesmada N₂ nuqtalarni hosil qilamiz.(3-shakl)
Faraz qilaylik:
S₁= , S₂=
Sonlar manfiy bo’magan sonlar bo’lib S₁+S₂=1 bo’ladi.

Shakldagi uchburchaklarning o’xshashligidan

= , =S₁ , = , =S₂
bo’ladi. Bulardan N₁=S₁M₁, N₂=S₂ M₂ va M=N₁+N₂ bo’lgani uchun M=S₁M₁+S₂M₂.
Bu yerda agar M₁ M₂ kesmada M₁ da M₂ ga qarab o’zgarganda S₂ esa 0 dan 1gacha qiymatlarni qabul qiladi. Shunday qilib 1-tasdiq isbotlandi.
2)M₁M₂ to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi M ni tM₁+(1-t) M₂ ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda t – biror son.
Haqiqatdan ham, agart M nuqta M₁M₂ kesmada yotsa bu tasdiq yuqorida isbotlangan 1-tasdiqdan kelib chiqadi. Endi faraz qilaylik M nuqta M₁M₂ kesmadan tashqarida yotsin. U holda M₁ nuqta MM₂ kesmaga tegishli bo’ladi. Aniqlik uchun faraz qilaylik 1-hol bo’lsin. U holda isbotlanganiga asosan M₁=SM+(1-S) M₂, (0Bundan
M= M₁- M₂=tM₁+(1-t) M_2, t=
Ikkinchi hol ham xuddi shuningdek isbotlandi va uni tinglovchilarga mustaqil topshiriq sifatida berish mumkin.
3) parametr S 0 dan gacha o’sib o’zgarganda SB nuqta OB nurda (bunda B nuqta koordinatalar boshidan farqli deb qaraladi). A+SB nuqta esa A nuqtadan chiquvchi OB nuqtadagi nurda o’zgaradi. (5-shakl)
S parametr 0 dan - gacha o’zgarganda SB va A+SB nuqtalar yuqoridagi aytilgan nurlarni to’ldiruvchi nurlarda o’zgaradi. (6-shakl)

Isboti: 5 va 6-shakllardan bevosita kelib chiqadi.
3-tasdiqdan kelib chiqadiki S parametr - dan + gacha o’zgarganda A+SB nuqta A nuqtadan o’tuvchi va OB ga parallel to’g’ri chiziqdagi nuqtalarda o’zgaradi.
Qo’shish va songa ko’paytirish amallarni fazodagi nuqtalar ustida ham bajarish mumkin.
Bu holda:
M₁+M₂=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂),
KM=(kx, ky, kz)
K va L nuqtalar to’plamining yig’indisi K+L deganda K+L ko’rinishdagi barcha nuqtalar to’plamiga aytiladi, ya’ni K+L={k+l/ k K, L l}.
Bir nechta misollar qaraylik.
1. K to’plam faqat bitta nuqtadan L esa ixtiyoriy nuqtalar to’plamidan iborat bo’lsin. U holda K+L to’plam L to’plamni OK masofa (uzunligi OK kesmaning uzunligiga teng masofaga) ko’chirish natijasida hosil bo’lgan to’plamga teng (7-shakl).

Xususiy holda L to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plami bo’lsa, K+L to’plam L to’g’ri chiziqdan OK masofadan o’tuvchi L₁ ga parallel to’g’ri chiziqdagi nuqtalar to’plami bo’ladi.(8-shakl).
2. K va L lar (fazodagi yoki tekislikdagi parallel bo’lmagan kesmalardagi nuqtalar to’plami bo’lsin. U holda K+ L to’plam tomonlari mos ravishda K va L to’plam tomonlari mos ravishda K va L larga teng va parallel parallellogramdan iborat bo’ladi. (9-shakl)

3.K-tekislik L unga parallel bo’lmagan kesma bo’lsin. U holda K+ L to’plam fazoning K ga parallel 2ta tekisligi orasidagi qismi bo’ladi. (10-shakl)
4.K va L lar markazlari P₁ va P₂ nuqtalarda radiuslarda mos ravishda r₁ va r₂ ga teng, bunda π tekislikda yotuvchi doiralar bo’lsin. U holda K+ L to’plam markazi P₁+P₂ nuqtalarda radiusi r₁+r₂ teng π tekislikka parallel tekislikda yotuvchi doiradan iborat bo’ladi. (11-shakl)