Kirish I. Bob chiziqli tengsizliklar sistemasi

1.2 Teng kuchli sistemalar
Bundan keyin bizning maqsadimiz chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimlarini topishning effektiv usulini bayon qilishdan iborat.
Ushbu paragrafda biz masalaning yechimini 2-no’malumli sistema uchun bayon qilsakda uni mumkin qadar umumiy nuqta-i nazardan bayon qilamiz va ulardan keyingi ishlanishlarimizda foydalanamiz.
1⁰. Zaruriy lemmalar. Ushbu
(1)
tengsizlik sistemasi berilgan bo’lsin. (1) bilan birga unga mos bo’lgan bir jinsli
a₁x+b₁y
a₂x+b₂y (2)
.......................
a_mx+b_my
Sistema va bir jinsli tenglamalar sistemasi
(3)
ni qaraymiz. Bu sistemalarning XOY tekislikdagi yechimlari sohalarini mos ravishda K, K₀, L bilan belgilaymiz. U holda L K₀.
Avvalo quyidagi lemmani isbotlaymiz.
1-lemma. (1) sistemaning ixtiyoriy yechimining yig’indisi ya’ni (1) sistemaning yechimi bo’ladi ya’ni
K+K₀ K
Isboti. A€K va BC K₀ bo’lsin. U holda ular mos ravishda (1) va (2) ni qanoatlantirishi kerak.

Bu tengsizliklarni hadlab qo’shib

ga ega bo’lamiz. Bunda A+B nuqtaning koordinatalari bo’lgan x_A+x_B, y_A+y_B sonlar juftligi (1) sistemaning yechimi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni A+B€K
2-lemma. 1) Agar A nuqtadan boshlanuvchi biror nur to’laligicha Kga tegishli bo’lib P esa shu nurning K ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, u holda P-A€K₀ bo’ladi.
2) Agar biror to’g’ri chiziq to’laligicha K ga tegishli bo’lib K va P lar esa shu to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtalari bo’lsalar P-A€L bo’ladi.
Isboti. 1)B=P-A deb belgilab olaylik. Qaralayotgan nurni
A+SB (4)
ko’rinishdagi nuqtalar to’plami deb qarash mumkin. Bunda S>0 – haqiqiy son. Bu nuqtalarning ixtiyoriy shartga ko’ra (1) ning yechimi, ya’ni :
(5)
Bulardan birortasini, masalan birinchisini olib qaraylik:
(a₁x_A+b₁y_A+c₁)+(a₁x_B+b₁y_B)S
Bu tengsizlik ixtiyoriy S 0 uchun o’rinli bo’lishi uchun (a₁x_B+b₁y_B) 0. bajarilishi kerak. Xuddi shuningdek mulohaza yuritib (5) dan
A₂x_B+b₂y_B ,... a_mx_B+b_my_m
Larni ya’ni B K ni hosil qilamiz.
Lemmaning ikkinchi qismi ham yuqoridagi singari isbotlanadi. Bu holda qaralayotgan to’g’ri chiziqni (4) nuqtalar to’plamidan iborat deb qaraymiz. Faqat endi S ixtiyoriy haqiqiy son. (5) tengsizliklar S ning ixtiyoriy qiymatlarida o’rinli bo’lishi uchun S oldidagi barcha koeffitsentlar nolga teng bo’lishi kerak.
a₁x_B+by_B=0,...,a_mx_B+b_my_B=0
Demak b L.
Osonlik bilan ko’rish mumkinki, 1 va 2 lemmalar ixtiyoriy sondagi no’malumlar qatnashgan tengsizliklar sistemalari uchun ham o’rinli bo’ladi.
2⁰. (1) sistema normal bo’lgan nol (1) va (3) sistemalarni qaraymiz. (3) sistema hamma vaqt nol yechimga ega. Shuning uchun ham uning nolmas yechimga ega.bo’lgan hollari muhim.