Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi mavzusida bajarilgan magistrlik dissertatsiyasi

Riman-Lyuvillning kasr tartibli integrali va hosilasi
Kasr tartibli hosila va integralning eng keng tarqalgan turlaridan biri bu Riman-Lyuivil ko’rinishidir.Ushbu ko’rinishda aniqlangan kasr tartibli integral bu kasr tartibli integral bu kasr tartibida aniqlangan Koshi tipidagi integral formulasining umumlashmasidir.
= (1.1.6)
Kasr tartibli integral va hosilalar tushunchasi kiritilishi bilan hosila va integral orasidagi chegara keskin yo’qalib ketadi.Shunday qilib,biz integrallarni manfiy tartibli hosilalar sifatida,hosilani esa mos ravishda manfiy tartibli integrallar sifatida qarashimiz mumkin.Kasr tartiblilarni matematik tahlilida quyidagi atama mavjud:differinintegral.Integral-differientsial operatorlarning kasr tartibli operatorlariga Koshi tipidagi umumlashgan integral formulasi kasr tartibli differentegrallarining quyidagi ta’riflariga olib keladi:
( (1.1.7),
( = (1.1.8),
bu yerda:
- -tartibli integral operator;
- -tartibli differiensial operator.
Kasr tartibli hosila va integralli operatorlarning bu ta’rifi yagona emas.Integro-differiensial operatorlarning Veyl, Grunvald-Letnikov, Kaputo va boshqa ko’rinishlariyam ma’lumdir.
Kaputoning kasr tartibli hosilasi
Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila amaliyotda ko’proq qo’llanadi. U Rieman Lyuvill ma’nosidagi kasr tartibli hosiladan farq qiladi,chunki funksiya birinchi navbatda dan kattaroq eng kichik n-tartib bilan differensiallanadi,keyin esa natija n- tartib bilan integrallanadi.
( = (1.1.9)
bu yerda
Ushbu ta'rifni x ning butun sohasiga kengaytirish uchun hosila natijasiga Re[exp(-iα)] koeffisienti qo’llaniladi, ammo soddalik uchun biz o’zimizni cheklab qo’yamiz. Kaputo kasr hosilasi faqat kasr tartibining butun son bo’lmagan qiymatlari butun tartibli Kaputo kasr hosilasi uchun qo’shimcha talab α=0 parametri yaqinida uzilishga olib keladi. Biroq tenglama bilan aniqlangan Kaputo hosilasi 0≤ α ≤ 1 ning butun va butun bo’lmagan qiymatlari uchun qabul qilingan.
Kaputo kasr hosilasi shunday aniqlanadiki, u n- tartibli butun son hosilasi bilan to’liq mos keladi. Ilgari biz α= n ϵ N tartibli Kaputo kasr hosilasi α =0 holidan tashqari n- tartibli butun son hosilasi bilan mos kelishi aniqlangan. Kaputo kasr hosilasi f(x) funksiyasidan kordinatadagi qiymati bilan farqlanadi, ya’ni
(1.1.10)
va
o’rtasidagi kasr tartibli hosilasining uzluksiz o’zgarishiga olib keladi. Yaqin atrofdagi o’zilishiga yo’l qo’ymaslik uchun ning barcha qiymatlari uchun tenglamada berilgan Kaputo kasr hosilasining ta'rifini qo'llaymiz.
Kasr hosilalarning keng doirasi aniqlangan.Misol uchun:diskret Gunvald- Letnikov, Rieman Luivill va Kaputo kasr hosilalari.
Hosilalar 0≤ α ≤ 1 tartibli Kaputo hosilasi uchun kengaytma oladi.
[f(x)*f(0); (1.1.11)
f(x) butun tartibning kengayishi bilan ekvivalent tarzda ifodalanishi mumkin k=0, bu yerda qulaylik uchun va α=0 uchun bu hosila qabul qilinishiga mos kelishi uchun f(x)=f(x)-f(0) ni qayta belgilaymiz.Shuni ta’kidlash kerakki,bu kengaytmadan foydalanib, ixtiyoriy ko'p funksiyalarning ko’paytmasi uchun kasr hosilasi qoidasini chiqarish mumkin, ammo soddalik uchun va umumiylikni yo’qotmasdan, biz faqat ikkita funksiya ko'paytmasi Kaputo kasr hosilasi bilan cheklanamiz. Ikki funksiyaning ko’paytmasining hosilasi
[f(x)*g(x)=
^l_kf^(k-l)( )g^(l)( ) (1.1.12)

Bunda C^l_k =( )=k![ binom koeffitsienti.

Yig’indi tartibini almashtirib (4) hosil qilamiz.
[f(x)*g[x]= * ^l_kf^(k-l)*(x) (1.1.13)
Keyin yig’indi ko’rsatkichida siljish amalga oshiramiz k->k+l bu
to’g’ridan to’g’ri [f(x)*g[x]=
= * ^(k-l)*(x) (1.1.14) ga olib keladi.
Gamma funksiyalarining nisbatini qayta yozish orqali
= (1.1.15)
kasr hosilasini qoidasiga kelamiz.
[f(x)/g(x)]= _α^lg^l(x) ^k-(α-l) f^k(x)=
_α^lg^(l)D^(α-l)_x[f(x)] (1.1.16)
Amaliyotda qo’llanilishida kasr tartibli Riman-Lyuvil hosilasi muhum kamchilikka ega,xususan,o’zgarmas doimiyning kasr tartibli Riman-Lyuvil hosilasi nolga teng emas:
(1.1.17)
Kasr tartibli Riman Lyuvil hosilasidan farqli ravishda,Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosilada o’zgarmas hosilasi nolga teng:
(1.1.18)