Dissertatsiyaning mazmuni.Kasr tartibli hosila va integrallar,differiensial tenglamalalar nazariyasi amaliy xarakterdagi masalalarni yechishga tadbiq etilayotganligi uchun ham hozirgi kunda tez rivojlanib bormoqda.Hozirgi kunda bu nazariya differensial tenglamalar nazariyasining asosiy nazariyalaridan biriga aylandi.
Kasr tartibli diferensial tenglamalar nazariyasining tez rivojlanib borayotgan yo’nalishlaridan biri kasr tartibli bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan Koshi masalasi nazariyasidir.
Kasr tartibli tartibli diferensial tenglamalar yechimlarini matematika-fizika tenglamalariga tadbiq qilishda kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimini o’rganish zarurati kelib chiqadi.
Bu dissertatsiyada kasr tartibli diffuziya tenglamasining fundamental yechimini topish va bu yechimning klassik yechim bo’lishi o’rganiladi.
Dissertatsiya kirish qismi,uchta bob,xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
Dissertatsiyaning kirish qismida mavzuning dolzarbligi,o’rganilganlik darajasi berilgan.
Birinchi bob ikkita paragrafdan iborat.Birinchi bobning birinchi paragrafida Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosilaga ta’rif beriladi.
c( = (1.1.9)
(1.1.9) Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila hisoblanadi.
Bu yerda
Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila amaliyotda ko’proq qo’llanadi. U Riemann Lyuvil ma’nosidagi kasr tartibli hosiladan farq qiladi,chunki funksiya birinchi navbatda dan kattaroq eng kichik n-tartib bilan differensiallanadi,keyin esa natija n- tartib bilan integrallanadi.
Ushbu ta'rifni x ning butun sohasiga kengaytirish uchun mintaqasidagi hosila natijasiga Re[exp(-iα)] koeffisienti qo’llaniladi, ammo soddalik uchun biz o’zimizni cheklab qo’yamiz. Kaputo kasr hosilasi faqat kasr tartibining butun son bo’lmagan qiymatlari butun tartibli Kaputo kasr hosilasi uchun qo’shimcha talab α=0 parametri yaqinida uzilishga olib keladi. Biroq tenglama bilan aniqlangan Kaputo hosilasi 0≤ α ≤ 1 ning butun va butun bo’lmagan qiymatlari uchun qabul qilingan.
Birinchi bobning ikkinchi paragrafi Dirakning delta,Mittag Lefler funksiyalariga bag’ishlangan.
Dirak tomonidan kiritilgan funksiya odatda quyidagicha ta’riflanadi:
1. =0,agar x 0; (1.2.1)
2. = ,agar x=0; (1.2.2)
3. dx=1,agar - (1.2.3)
Integrallash chegaralari - bo’lishi shart emas.Delta-funksiya cheksiz bo’lgan nuqtani o’z ichiga olgan har qanday soha integrallash sohasi bo’lishi mumkin.Delta-funksiyaning ma’nosi ham shundaki,integral uning argumenti bo’yicha olinadi.
Har qanday uzluksiz f(x) funksiya uchun yozish mumkin:
dx=f(0), agar - ; (1.2.4)
Xossalari:
1.Delta funksiya-juft funksiya hisoblanadi.
2.x -
3. , bu yerda - f(x) funksiyaning nollari
4.Bir o’lchamli Delta funksiyasidan olingan integral Heaviside funksiyasini beradi:
5.Delta funksiyasining filtrlash xossasi:
=f(
Mittag Lefler funksiyasi cheksiz qator yordamida z kompleks argumentining qiymatlar to’plamida ko’rsatilgan va ikkita parametrlarga bog’liq:
, , (1.2.16) .
Agar bo’lsa,u holda yuqoridagi formula eksponent funksiyasini aniqlaydi.
(1.2.17).
Dissertatsiyaning ikkinchi bobi integral almashtirishlar va ularni xossalarini o’rganishga bag’ishlangan.
Ikkinchi bobning birinchi paragrafida Fur’e almashtirishi va uning xossalari keltirilgan.
(2.1.7)
(2.1.7) formulaga Fur’e almashtirish formulasi deyiladi.
F( funksiya (2.1.6) formula bilan aniqlanadi va u f(x) funksiyaning Fur’e almashtrilishi deyiladi.
Berilgan funksiyani biz kichik harf bilan, mos ravishda uning Fur’e almashtrish katta harf bilan belgilaymiz.
Shunday ekan f(x) funksiya F(x) funksiyaning Fur’e almashtrilishi deyiladi. Bu belgilashlar bilan birga Fur’e almashtrilishini operator ko’rinishi ham keltrib o’tamiz
Fur’e almashtirishning operatori yoki qisqacha Fur’e operatorni V bilan belgilaymiz va
F( (2.1.8)
munosabatga ega bo’lamiz.
.f( ) funksiya F ( funksiyaning Fur’e almashtrishiga teskari almashtirishi deyiladi. orqali Fur’e almashtirishiga teskari almashtrish operatorini belgilaymiz. Shunday qilib quyidagiga ega bo’ldik.
Fur’ening integral formulasini
ko’rinishida yozipsh mumkin.Eslatib o’tamiz Fur’e operatori chiziqli ya’ni V operatori chiziqlilik xossasini saqlaydi.
V =
bu esa integral xossasidan kelib chiqadi.
