|
Kaputo kasr tartibli hosilasining fizik ma’nosi
Quyidagi ko’rinishdagi kvant kuzatuvlar uchun umumlashgan Linbland tenglamasini qaraylik:
c = (1.1.19)
bu yerda - vaqtga nisbatan kasr tartibli Kaputo hosilasi va
= + (1.1.20)
Kaputo ma’nosidagi kasr tartibli hosila (dissertatsiya mavzusi bilan bog’liq) diffuziya holatini ifodalashda ham muhim.Diffuziya jarayonlarining klassik tavsifi Fik qonunlariga asoslanadi. Fikning birinchi qonuni diffuziv bilan bog’liq oqim gradyaniga.Oqim yuqori konsentratsiyali hududlardan past konsentratsiyali mintaqalarga, kattaligi konsentratsiya gradyaniga (Fazoviy hosilaga)mutanosib sodda qilib aytganda erigan modda yuqori konsentratsiyali hududdan konsentratsiya gradiyenti bo’yicha past konsentratsiyali mintaqa. Bitta o’lchovda qonun turli shakllarda yozilishi mumkin, bu yerda eng keng tarqalgan shakl molyar asosda:
J=-D (1.1.21)
J-diffuziya oqimi
D-diffuziya koeffitsienti yoki diffuzi
konsentratsiya
x-hajmi uzunligi bo’lgan pozitsiyadir
Fikning ikkinchi qonuni diffuziya konsentratsiyasini vaqtga qarab qanday o’zgarishini keltirib chiqaradi. Bu qisman differentsial tenglama:
(1.1.22)
-(modda miqdori) uzunlik o’lchamlaridagi konsentratsiya
x-pozitsiyasi, t-vaqt
Ikkinchi qonunning natijasi diffuziyaning klassik differientsial tenglamasidir.
Oxirgi yillarda diffuziya jarayonlarini o’rganishga qiziqish kuchaymoqda. Fik qonunlariga qonunlariga bo’ysinish esa klassik tenglama bilan tavsiflanmagan. Turbulent oqimlarda, amorf yarim o’tkazgichlarda, yuqori energiyali plazmada, g’ovak muhitlarda “anomal diffuziya” kuzatiladi. Bunday kasr ko’rinishidagi differensial tenlamalarni hisoblash uchun Fik qonunlaridan foydalanamiz. Kasr tartibli hosilalarning klassik diffuziya tenglamasi ham fazoda ham, vaqt bo’yicha kiritiladi.
Kasr tartibli diffuziya tenglamasi:
(1.1.23)
(1.1.24)
0<
-kasr hosila tartibi
-moddaning yo’nalishidagi qiyalik koeffitsienti
-kasr tartibi
Agar o< -sekin diffuziya
1 –tez diffuziya
oddiy klassik diffuziya sodir bo’ladi.
Subdiffuziya rejimida zarrachalarning o’rtacha-kvadratik siljishining o’sish sur’ati vaqt o’tishi bilan monotonik ravishda kamayadi, superdiffuziya rejimida esa vaqt ko’payib boradi [8]. Qachon γ → 1, ko’rib chiqilgan tenglama eritmaning cheksiz eksponent parchalanishi bilan klassik diffuziya tenglamasiga aylanadi. γ → 2 sifatida biz to’lqin tenglamasini olamiz. Bunda hosilalarning faqat bittasi kasrga almashtiriladi.
Yuqorida keltirib o’tilganlardan xulosa qilib, fraksional tenglamalar yechimlari vaqt yoki makon hosilalariga bog`liq va yechimlar differentsiyasi va qiyalik-simmetriyaning tartib parametrlari hatti-xarakatlarga bo`liq. γ<1 uchun oqim tezligi jarayon dastlab klassik diffuziya tezligidan yuqori, ammo vaqt o’tishi bilan subdiffuziyaga xos bo’lgan sekinlashuv kuzatiladi. γ> 1 uchun jarayonning tezligi klassikaga qaraganda yuqori holda, jarayon vaqt o’tishi bilan tezlashadi. Bunday holda, “to’lqin” xususiyatlari paydo bo’ladi. Kosmosdagi fraksional hosilasi bo’lgan tenglamalarning yechimlari shuni ko’rsatadiki, diffuziya tezligi kasrli hosilaning tartibiga bog’liq, bu klassik model taxmin qilinganidan kattaroq bo’lib chiqadi. Differentsiatsiya parametri 1 ga yaqinlashganda, ifodaning aniq uzatish jarayoni kuzatiladi.
Ba’zi elementar funksiyalarning kasr tartibli hosilalari:
Quyidagi formulalarda uchun ni o'rnatamiz.
Quvvat funksiyalari uchun mos ravishda bizda mavjud
Ushbu formulalar (1.1.26) ga qo'shiladi va oddiy hisoblash yo'li bilan o'rnatiladi. Umumiyroq holatda gipergeometrik Gauss funktsiyasi ( paydo bo'ladi:
Bu yerda esa ixtiyoriy. Formula (2.46) Eyler tasviridan oddiy oʻzgartirishlar yoʻli bilan olinadi. Xuddi shunday formulani funksiyasi uchun ham yozish mumkin,bunda
qaerda esa ixtiyoriy. Formulalarning foydali maxsus holatlarini qayd etamiz:
3. bu yerda
Eyler psi-funksiyasi . Haqiqatan ham, o'zgartirgandan so'ng
integralda (uchun )
biz ni olamiz
,
bu yerda
bilan.
Shubhasizva haqida parametrga nisbatan bilan m ning farqlanishi hisoblanadi.
Kompleks tartibli kasr integrallari va hosilalari.
3-da real a > 0 uchun kiritilgan kasrli integrasiya operatsiyalari va kasrli differentsiallash Re ning kompleks qiymatlari uchun ham ma'no berilishi mumkin. a > 0 ( Re = 0 ishi haqida alohida so'z aytamiz ). Buning uchun barcha ta'riflarda , ko'p qiymatli quvvat funksiyasining qiymatini tanlashni tushuntirish kifoya. Kelajakda hamma joyda rozi bo'laylik
a murakkab tartibli integrallar (hosilalar) dastlab da aniqlangan kasr integrallarining (hosilalari) a parametriga nisbatan analitik davomidir .
Sof xayoliy tartib bo'lsa, (1.1.22) kabi kasr hosilalari formula bo'yicha aniqlanadi.
Boshqa tomondan, (2.17) integralning ko'rinishidagi divergentsiyasini hisobga olgan holda, sof xayoliy tartibdagi kasr integrallarini aniqlash uchun ishlatib bo'lmaydi. Shuning uchun, odatda, sof xayoliy tartibning kasr integrallari aniqlanadi
sifatida . Shunday qilib,
Barcha uchun kasr integrodifferentsiatsiyasining ta'rifini yakunlash uchun a = 0 uchun birlik operatorini kiritish qoladi:
Kutilganidek, integrallar va sof xayoliy tartibdagi hosilalar o'rtasida muhim farq yo'q. Operatorlar va o'z tabiatiga ko'ra birma-bir operatorlarga juda yaqin joylashgan, shuning uchun ular uchun "integratsiya va differentsiatsiya operatsiyalari" nomi mutlaqo an'anaviydir.
Lemma 1.1.3. Agar u holda u deyarli barcha x uchun mavjud va uchun ko'rinishda ifodalanishi mumkin . IsbotiLemma 2.1 ning isbotiga va uning natijasiga butunlay o'xshashdir .Kasr integrallari ( hosilalari) mavjudligi uchun sharti ortiqcha, buning uchun § 4, 2°, 2.10-bandga qarang. Keyinchalik 8-§ 8.2 Lemmada , funktsiyalari bo'yicha ta'rif va operatori bajarishni tan olishini ko'ramiz. fazoda chegaralangan Quyidagi teoremada biz ixtiyoriy kompleks tartibli k asr hosilalarining mavjudligi uchun yetarli shartlarni keltiramiz (oddiyroq holatlar va Lemmalar 2.2 va 2.3 da ajratilgan). Teorema sinfi nuqtai nazaridan shakllantirilganligi sababli , biz birinchi navbatda ushbu sinfning tavsifini beramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
