Kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimi mavzusida bajarilgan magistrlik dissertatsiyasi

Delta funksiya
Birinchi marta 1926-yilda Dirak tomonidan kiritilgan funksiya odatda quyidagicha ta’riflanadi:
1. =0,agar x 0; (1.2.1)
2. = ,agar x=0; (1.2.2)
3. dx=1,agar - (1.2.3)
Integrallash chegaralari - bo’lishi shart emas.Delta-funksiya cheksiz bo’lgan nuqtani o’z ichiga olgan har qanday soha integrallash sohasi bo’lishi mumkin.Delta-funksiyaning ma’nosi ham shundaki,integral uning argumenti bo’yicha olinadi.
Har qanday uzluksiz f(x) funksiya uchun yozish mumkin:
dx=f(0), agar - (1.2.4)
Haqiqatdan, xususiyatiga muvofiq,yuqoridagi integralda faqat x=0 nuqta atrofigina ahamiyatlidir.Cheksiz kichik sohada uzluksiz funksiyani o’zgarmas hisoblash mumkin.U vaqtda f(x) funksiyaning f(0) qiymatini integral belgisining oldiga chiqariladi.qolgan integral esa (1.2.3) formulaga asosan birga tengdir.Delta-funksiya uchun muhim bo’lgan yana bir formulani qarab ko’raylik:
(1.2.5),agar k=const
Haqiqatdan ham,agar kx ni ni orqali belgilasak, (1.2.6)
U vaqtda (1.2.1) va (1.2.2) formulaga asosan,
agar (1.2.7);
agar (1.2.8)
(1.2.5)da ifodalangan tenglik belgisining ma’nosi shundan iboratki,uning o’ng va chap tomonlari integral ostidagi ko’paytuvchilar sifatida olinib,bir xil natija beradi.
Tenglamaning chap tomonini ko’rib chiqaylik.Agar k bo’lsa,
= = =
bo’ladi.
Ammo (1.2.6) ga muvofiq,
=
Endi (1.2.6) va (1.2.8) ifodalarni nazarda tutib, delta-funksiya ta’rifiga asosan yozishimiz mumkin:
=1 (1.2.9)
Demak,

(1.2.5) ning o’ng tomonidan olingan integral esa bo’ladi.
Shunday qilib,(1.2.5) ifoda isbotlandi.
Xususiy hol k=-1 uchun (x) (1.2.10)
Xossalari:
1.Delta funksiya-juft funksiya hisoblanadi.
2.x -
3. , bu yerda - f(x) funksiyaning nollari
4.Bir o’lchamli Delta funksiyasidan olingan integral Heavisedi funksiyasini beradi

5.Delta funksiyasining filtrlash xossasi:
=f(
Amaliyotda ko’pincha,Delta funksiyaning integral ko’rinishidan foydalanish qulay:
(1.2.11)
Isbot
Quyidagi integralni ko’rib chiqaylik:
(1.2.12)
Ushbu integralni quyidagi limit ko’rinishida ham yozishimiz mumkin:
I(t)= ,
Bu yerda (1.2.13)
Ma’lumki ,

Agar ixtiyoriy N uchun (1.2.14) dan foydalansak quyidagi tenglik o’rinli:
= (1.2.15)
Demak,N ning cheksiz o’suvchi qiymatlarida (1.2.13) funksiya uchun Delta funksiyaning barcha xossalari o’rinli va u ga intiladi.