|
Laplas integral almashtirishlarining asosiy xossalari
1.Chiziqlilik xossasi.
F(p)= (2.2.3)
2.Erkli o’zgaruvchining masshtabini o’zgartirish.
f(t) F(p) bo’lsin,o’zgarmas bo’lganda f( ning tasviri
f( (2.2.4)
3.Quvvat spektri
f(
integralning tasviri f(t) bo’lsa,u holda
(2.2.5)
Dissertatsiya ishida bir jinsli bo’lmagan kasr tartibli Koshi masalasining yechimini topish uchun Laplas almashtirishidan,bu yechim orqali kasr tartibli diffuziya tenglamasining fundamental yechimini keltirishda Fure integral almashtirishidan foydalanamiz.
II BOB UCHUN XULOSA
Ikkinchi bobda kasr tartibli diferensial tenglamalar,xususan,bir jinsli bo’lmagan Koshi masalasi,kasr tartibli diffuziya tenglamasi fundamental yechimini topishda bevosita foydalaniladigan integral almashtirishlar o’rganilgan.
Birinchi paragrafida Fure almashtirishi va uning xossalari keltirilgan.
Ikkinchi paragrafida Laplas almashtirishi va uning xossalari isbotlari bilan birga berilgan.
III KASR TARTIBLI DIFFUZIYA TENGLAMASANING FUNDAMENTAL YECHIMI
3.1-§ Fundamental yechim tushunchasi
Bir jinsli bo’lmagan kasr tartibli Koshi masalasining yechimini keltirishdan oldin masalalarning qo’yilish holatlariga va fundamental yechim tushunchasiga to’xtalamiz.
Qandaydir fizik jarayonni to’liq ko’rinishda o’rganish uchun, bu jarayonni ifodalayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang’ich holatini va jarayon sodir bo’layotgan sohaning chegarasidagi holatini keltirish lozimdir.
Bu narsa matematik jhatdan differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan tushintiriladi.
n-tartibli
quyidagi tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liqdir, ya’ni
Bu o’zgarmas qiymatlarni aniqlash uchun noma’lum funksiya y(x) qo’shimcha shartlarni qanoatlantirishi zarurdir.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning umumi yechimi ixtiyoriy o’zgarmaslarga emas ixtiyoriy funksiyalarga bog’liq bo’lib, bu funksiyalarning soni tenglamaning tartibiga teng bo’ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechimning argumentlari sonidan bitta kam bo’ladi.
Fizik jarayon sodir bo’layotgan soha bo’lib, S uning chegarasi bo’lsin. S ni bo’laklari silliq sirt deb hisoblaymiz. G tenglamadagi erkli x o’zgaruvchilarning o’zgarish sohasi, ya’ni tenglamaning berilgan sohasidir. Tenglamalarning berilish sohasi asosi G va balandligi T bo’lgan silindrdan iborat. Bu silindrning chegarasi uning yon sirti ikkita quyi va yuqori asoslarini o’z ichiga oladi.
Bu tenglamalarning koeffisiyentlarini t o’zgaruvchiga bog’liq emas, bularning fizik ma’nosiga ko’ra deb hisoblaymiz.
Tenglamalarning matematik ma’nosiga ko’ra shartlarning bajarilishi ham zarurdir. Bu ifodalarga ko’ra tenglama giperbolik, parabolik, esa elliptik tiplar biriga tegishli bo’ladi. Differensial tenglamalar uchun uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi.
1) Koshi masalasi. Bu masala giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi. G sohada butun fazo bilan ustma-ust tushadi, bu holda chegaraviy shartlar bo’lmaydi.
2) Chegaraviy masala.Bu masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo’yiladi.S da chegaraviy shartlar ko’rsatiladi, boshlang’ich shartlar bo’lmaydi.
3) Aralash masala. giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun ko’rsatiladi. ga ko’ra boshlang’ich va chegaraviy shartlar beriladi.
Giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha beriladi:
sinfga tegishli, t>0 yarim fazoda tenglamani va t=+0 da
(3.1.1)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) funksiya topilsin.
Parabolik tipdagi diffuziya tenglamasi uchun Koshi masalasi quyidagicha ifodalanadi:
sinfiga tegishli t>0 yarim fazoda tenglamani t=+0 da
(3.1.2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) funksiya topilsin.
Berilgan Koshi masalasini umumlashtirish mumkin. Bunga ko’ra o’zgaruvchili ikkinchi tartibli ushbu Kvazi chiziqli differensial tenglamani ko’rib chiqamiz:
(3.1.3)
Yetarlicha silliq bo’lgan sirt va bu sirtga urinma bo’lmagan, uning har bir nuqtasida biror l yo’nalish berilgan bo’lsin. S sirtning biror atrofida (1.2.3) tenglamani va
(3.1.4)
Koshi shartlarini qanoatlantiruvchi u(x) funksiya aniqlansin..
Boshlang’ich shartlardan foydalanib, S sirt izlanayotgan funksiyaning barcha birinchi tartibli hosilalarini topish mumkin. Keying navbatda oldimizga quyidagi masalani qo’yamiz. (3.1.3) va (3.1.4) shartlardan foydalanib ikkinchi tartibli hosilalarini aniqlash mumkinmi?
(3.1.5)
bu yerda l yo’nalish sifatida normal olinayapti. (3.1.5) shartlar asosida gippertekislikda hosildan tashqari u(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini aniqlash mumkin.
ni aniqlash uchun (3.1.3) tenglamadan foydalanishimiz zarur. Bunda ikki holat bo’lishi mumkin:
a holda gippertekislikda ni aniqlash mumkin.
b holda esa aniqlab bo’lmaydi.
Bundan keyin umumiy holni, ya’ni boshlang’ich shartlar biror S:
sirtda berilgan holni ko’ramiz. S sirt atrofida o’zgaruvchilar o’rniga yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz:
(3.1.6)
Shuningdek, funksiyalar yetarli silliq va (3.1.7) almashtirishning yakobiani noldan farqli qilib tanlab olindi. Yangi o’zgaruvchilarga nisbatan (3.1.3) tenglamaning koeffisiyentlarini orqali belgilab olsak,
(3.1.3) tenglama quyidagi ko’rinishga kelad::
(3.1.8)
S sirt tenglamasi esa dan iborat bo’ladi, ya’ni bu holda masala avvalgi xususiy holdagi ko’rinishga keladi:
(3.1.3) tenglamaning xarakteristik sirti S sirt bo’lmasa, bo’ladi. Bu vaziyatda (3.1.7) tenglama kirgan barcha hosilalarni da hisoblash mumkin.
Agarda S xarakteristik sirt bo’lsa, bo’ladi. Natijada (3.1.7) tenglamada
hosila ishtirok etmaydi. (3.1.7) dan boshlang’ich shartlarga asosan y=0 bo’lganda ushbu
tenglik hosil bo’ladi.
Quyidagi misolni ko’rib chiqamiz:
Masala sharti:
tenglamaning
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
x=const, y=const to’g’ri chiziqlar oilasi, jumladan y=0 ham berilgan tenglamaning xarakteristik xossalaridan iborat.Boshlang’ich shartlar xarakteristikada berilyapti. Ko’rib chiqilayotgan tenglamaning umumiy yechimi
dan iborat. Umumiylikka qarshi chiqmay deb hisoblashimiz mumkin.
Boshlang’ich berilgan shartlarga asosan
.
Agar bo’lsa, oxirgi tenglikning bajarilmaydi,bu holda Koshi masalasi yechimga ega bo’lishi mumkin. Bu holda uchun ushbu funksiyani olishimiz mumkin:
sinfga tegishli va shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya.
Agar bo’lsa, Koshi masalasining haqiqatdan ham yechimi mavjud bo’lib, u yechim
formula bilan aniqlanadi, lekin yechim yagona emas.
Ayrim funksiyalar matematik funksiyalarning qo’yilishida ishtirok etadi.Bu funksiyaga masalaning yechimi ham bog’liq bo’ladi. Bu funksiyalar, odatda, tajriba sinovlar asosida aniqlanadi. Shu sababli ham ularni absalyut ravishda aniq topish mumkin emas. Boshlang’ich va chegaraviy shartlarda har doim biror xatolikning mavjud bo’lishi uchraydi.Masalaning yechimiga ham bu xatolik o’z ta’sirini ko’rsatadi.
Bu ta’rifni ifodalash uchun natijasi tekshirilayotgan masalaga D degan belgilash kiritamiz. Bu fikrni to’liq bayon qilish uchun tekshirilayotgan masalani D orqali belgilab olamiz. Har qanday D masalaning mohiyati berilgan funksiyalarga asosan uning yechimini topishdan iboratdir, bu yerda va - metrikalari va bo’lgan qandaydir metrik fazolar.Bu fazolar masalaning qo’yilishi bilan aniqlanadi. D masalaning yechimi tushunchasi aniqlangan bo’lib, har bir elementga yagona u = R( yechim mos kelsin.
Agar ixtiyoriy uchun shunday ( sonni ko’rsatish mumkin bo’lib, tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqsa, D masala ( ) fazolar juftida turg’un masala deyiladi.
Bunda =R( ), , , i = 1,2, … masalaning yechimi berilgan shartlar (boshlang’ich va chegaraviy shartlar, tenglamaning koeffisientilari, ozod hadi va h.k.)ga uzluksiz bog’liq bo’ladi.
Agar tekshirilayotgan ixtiyoriy D masala uchun quyidagi:
1) uchun yechim mavjud;
2) u yechim yagona;
3) masala ( ) fazolar juftligida turg’un shartlarni qabul qilsa, D masala ( ) fazolar juftligida korrekt (to’g’ri) qo’yilgan yoki to’g’ridan – to’g’ri korrekt masala deb ataladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
