История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Определение. Разностью двух целых неотрицательных чисел а и вназывается количество элементов в дополнении множества В до множества А, при условии, что а=п(А),в=п(В), ВÌА.
а-в=n(А/В), где а=n(А), в=n(В) и ВÌ А
1) Объясним теоретико-множественный смысл разности 5 и 3
Пусть А= {а, в, с, d, е}, n(А)=5,
В={а, в, с}, n(В)=3, ВÌА
Найдём А/В= {d, е}, где n(А/В) = 5-3=2 (по определению разности на множестве целых неотрицательных чисел).
2) Объясним теоретико-множественный смысл разности 3 и 0.
Пусть А={а, в, с}, n(А)=3,
В - «множество натуральных корней уравнения 4х+7=0», n(В)=0, ВÌА
Найдём А/В= {а, в, с}, где
n(А/В) = 3-0=3 (по определению разности на множестве целых неотрицательных чисел).
3) Объясним теоретико-множественный смысл разности 3 и 3.
Пусть А={а, в, с}, n(А)=3,
В ={а, в, с}, n(В)=3, ВÌА
Найдём А/В= {Æ}, где
n(А/В) = 3-3=0 (по определению разности на множестве целых неотрицательных чисел).
Теорема.Результат вычитания не зависит от выбора множеств.
Пример.
1. Во дворе гуляли 5 детей. 3 ребёнка ушли домой. Сколько детей осталось гулять во дворе? Решение: 5-3=2(д.).
2. За два дня туристы должны были пройти 5км. В первый день туристы прошли 3км. Сколько километров осталось пройти туристам?Решение: 2+3=5(км).
3. В гараже было 5 автомобилей. Утром из гаража выехало 3 автомобиля. Сколько автомобилей осталось в гараже? Решение: 5-3=2(авт.).
Теорема (условие существования разности). Для того, чтобы разность а и в существовала, необходимо и достаточно, чтобы вбыло не больше а.
Необходимое условие.
Дано: а-в – существует.
Доказать: в£а.
Доказательство: а-в=n(А/В) (по определению разности),где а=n(А), в=n(В) и
ВÌ АÞ в£а. (по определению данного отношения)
Достаточное условие.
Дано: в£а.
Доказать: а-в – существует.
Доказательство: в£а Þ (по определению данного отношения) а=n(А), в=n(В) и
ВÌ АÞ если множество В содержится в множестве А, то существует множество, которое дополняет В до А, то есть А/В (по определению операции дополнения)Þ а если существует множество А/В, значит существует и кол-во элементов в нём n(А/В)Þ а если есть кол-во элементов в дополнении, значит есть и разность, соответствующая ему n(А/В)=а-в, где а=n(А), в=n(В).