История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

В начальном курсе математики учащиеся должны усвоить на уровне навыка:
1.таблицу сложения (вычитания) в пределах 10;
2.таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и соответствующие случаи вычитания;
3.таблицу умножения и соответствующие случаи деления. [3,С.43]
Методика ознакомления учащихся со сложением и вычитанием в пределах 10
Подход в учебнике М.И.Моро к формированию навыков сложения и вычитания в пределах 10 предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное или произвольное запоминания в процессе специально организованной деятельности. Осознанное составление таблиц может обеспечиваться теоретической линией курса, предметными действиями, методическими приёмами и наглядными средствами. Для произвольного и непроизвольного запоминания таблиц используется специальная система упражнений. [3, С.43]
Таблицы сложения и вычитания в пределах 10 можно условно разделить на четыре группы, каждая из которых связана с теоретическим обоснованием и соответствующим способом действия:
1) принцип построения натурального ряда чисел – присчитывание и отсчитывание по 1;
2) смысл сложения и вычитания – присчитывание и отсчитывание по частям;
3) переместительное свойство сложения – перестановка слагаемых;
Взаимосвязь сложения и вычитания – правило: если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.
В формировании вычислительных навыков в школьной практике используются различные подходы:
a) выучивание таблиц;
b) знакомство с различными вычислительными приёмами, самостоятельное составление таблиц, непроизвольное запоминание в процессе выполнения упражнений;
c) после использования предметных действий и вычислительных приёмов, ученику даётся установка на запоминание. [3, С.44]
В учебнике Н.Б. Истоминой при изучении табличных случаев сложения (вычитания) ориентир направлен на усвоение состава числа.
Это связанно с тем, что изучение таблицы с последовательным составлением каждой группы сложения (вычитания) в соответствии с выделенными этапами, на практике не всегда оказывается эффективным для формирования автоматизированных навыков сложения и вычитания в пределах 10.
Дело в том, что, формируя навыки табличного значения « + 2», учитель сначала фиксирует внимание детей на вычислительном приёме, включающем операции, которые у большинства сформированы на уровне вычислительного навыка (6+1+1; 7+1+1). Параллельно ведётся аналогичная работа со случаем « - 2». Затем составляются две таблицы: 1+2, 2+2, 3+2 и тд. И 3-2, 4-2, 5-2 и т.д. Учитель даёт задание выучить таблицу, т.е запомнить 16 случаев. [3, С.45]
Суммой двух целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов объединения двух непересекающихся множеств А и В, таких что численность множества n(A)=a, а численность множества n(В)=b/
Используя данное определение мы можем найти сумму любых двух целых неотрицательных чисел. Например, найдем сумму чисел 2 и 3
Возьмем 2 непересекающихся множества А и В, таких что n(A)=2; n(В)=3 и АиВ не пересекаются.
А=(n, k) B=(p, s ,m)
Найдем объединение множеств А и В: А U В=( n, k, p, s ,m) посчитаем число элементов этого объединения оно =5 n( A U B)=5 =>2+3=5
Действие при помощи которого находят сумму называется – сложение. Для действия сложения выполняются следующие свойства:
1. переместительное (коммутативное) ( ∀a, b∈Z0) a+b=b+a
Для любых целых неотрицательных чисел а и в выполняется равенство: сумма чисел а и в равна сумме чисел в и а.
2. сочетательное (ассоциативное) (∀а, b,c∈Z0)(а+в)+с= а+(в+с)
для любых целых неотрицательных чисел а , b и с выполняется следующее равенство: сумма суммы чисел а , b и числа с равна сумме числа а и суммы чисел b и с.
Методика:
В НКМ дети знакомятся с переместительным и сочетательным свойствами сложения. Переместит: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Сочетательное: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.
Уч-ся рассматривают след случаи сложения:
1) 46+2=(40+6)+2=40+(6+2)=40+8=48-соч св
2) 46+20=(40+6)=20=(40+20)+6=60+6=66 перем, соч
3) 30+24=30+(30+4)=(30+20)+4=50+4=54 соч св
4) 38+5=38+(2+3)=(38+2)+3=40+3=43
5) 52+34=52+(30+4)=(52+30)+4=82+4=86 сочет св
2.При выполнении данного задания дети должны знать:
1. Состав числа 10
2. Разряд состав двузначного числа
3. Умение склад однозначного числа
При изучении данного материала используется метод неполной математической индукции, которая заключается в том, что на основе того, что объекты класса обладают свойством делается вывод, что этим свойством обладают все объекты этого класса. При изучении данного материала возможно след методика: Сначала учит предлагать определять по какому правилу записаны равенства в первом столбике и вставить в окошки числа(складывают первые два числа, получают 10, потом прибавляют третье число). Учитель просит поставить скобки, указывая порядок выполнения действий. Затем учитель просит детей ответить на те же вопросы по второму столбику(складывать второе и третье слагаемое, прибавить к первому). Затем учащимся можно предложить найти значения левых выражений в 1 и 2 столбика. После чего учитель говорит, что значения соответствующих выражений равны, поэтому мы можем их прировнять. После чего делается вывод: два соседних слагаемых можно заменить значением суммы.
Билет №10. ТМС разности целых неотриц чисел. Определение разности через сумму. Условие существования разности в множестве целых неотриц чисел.
Разностью двух целых неотрицательных чисел а и в называется число элементов дополнения множества В до множества А , таких что n(A)=a, а численность множества n(В)=b и В является подмножеством А.
Используя данное определение, мы можем найти нам разность целых неотрицательных чисел. Найдем разность чисел 5 и 2. возьмем два множества таких что n(A)=5, а n(В)=2, В должно быть подмножеством А. А=(a, b, c, d,e) B=(a, b). Найдем дополнение множества В до множества А оно равно B’a =(c, d,e). подсчитаем число элементов дополнения. Мы видим, что оно равно 3 n(В’a)=3=>5-2=3
Действие, при помощи которого находят разность, называется вычитание.
Действия вычитания и сложения взаимосвязаны. Эта взаимосвязь находит свое отражение в определении разности через сумму. Разность 2 целых неотриц чисел АиВ - то такое целое неотриц число С, которое при сложении с В дается А. а+в=сó с+в=а
В множестве целых неотрицательных чисел мы не всегда можем найти разность. Условием существования разности заключаются в следующем: разность двух целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда а ≥в
Методика.
В НКМ учащиеся устанавливают взаимосвязь между действиями сложения и вычитания. Эта взаимосвязь формулируется в виде привил, устанавливающих связь между компонентами и результатом действия сложения и вычитания.
Если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получиться другое слагаемое.
Если к разности прибавить вычитаемое, то получиться уменьшаемое.
Рассмотрим возможную методику ознакомления учащихся со связью между компонентами и результатом действия сложения.
провод практическая работа. Положите 3 красных круга. Добавьте к ним 2 синих. Сколько стало. Как получили? Уберите 3 красных круга. Какие кружки остались? Сколько стало? Как получили?
Верните красные круги и уберите синие. Какие круги остались? Сколько Как получили? Затем учитель обращает внимание детей на первую запись: посмотрите на первую запись. Как называются числа 3,2,5 в этой записи? 3 первое слагаемое, 2 второе слагаемое, 5 сумма. Посмотрите на вторую запись. Мы из суммы вычли первое слагаемое и получили второе. Посмотрите на 3 запись что вы замечаете? Проверив закономерность на других числах, делается вывод: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получиться другое слагаемое.
2. Т.к. в этой задаче речь идет о 3 множествах: а- множество яблок, в-множество груш, с- множество яблок, которые взяли, причем множества А и В не пересекаются, С является подмножеством множества А.
1)Решая задачу 1 способом мы узнаем сколько всего фруктов лежит в вазе, а потом узнаем сколько осталось
2)решая задачу 2 способом узнаем сколько яблок осталось, а затем сколько всего фруктов осталось
3) мы не можем решить задачу, т.к. множество С не является подмножеством В, мы не можем из груш вычесть яблоки.
Билет № 11. Правила вычитания числа из суммы и правило вычитания суммы из числа.
Для действия вычитание выполняются правило вычитание числа из суммы и правило вычитания суммы из числа.
Для того, чтобы вычесть число из суммы достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое. Это правило возможно, если хотя бы одно из слагаемых суммы не меньше числа, которое вычитаем. Отсюда получаем:
1. Если ≥с то, чтобы вычесть число с из суммы чисел а и в достаточно вычесть число с из а и к полученному результату прибавить в.
Если а ≥с, то (а+в)-с=(а-с)+в
2.Если в≥с, то достаточно вычесть с из в и полученный результат прибавить к а.
Если в≥с, то (а+в)-с= а+ (в-с)
3. Если а≥с и в≥с, то поступают как в 1 или во 2 случае.
Для того чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим. а-(в+с)=(а-в)-с это правило возможно когда сумма чисел не больше числа, из которого вычитают. а≥(в+с)
Рассмотрим ТМИ вычитания числа из суммы. (а+в)-с=(а-с)+в.
Возьмем 3 множества АВС такие что n(A)=a, n(В)=в, n(С)=с при этом множества А и В не пересекаются и С принадлежит В (по определению разности)
Рассмотрим левую часть (а+в)-с. Сначала найдем сумму чисел а и в.Она равна числу элементов объединения множеств а и в. Затем из полученной суммы вычтем с. Разность равна числу элементов дополнения множества С до объединения множеств А и В. (рис)
Рассмотрим правую часть (а-с)+в сначала найдем разность чисел а и с, она равна числу элементов дополнения множества С до множества А. Затем к полученной разности прибавим к число в, сумма равна числу элементов объединения множества в и дополнения множества С до множества А.
Мы видим что в результате наших рассуждений, мы получили закрашенными одинаковые области. Это означает, что мы получили равные множества, которые содержат одинаковое число элементов. Что и подтверждает верность данного правила.
Методика
В основе вычислительных приемов вычитания чисел лежат правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. В НКМ эти теоретические вопросы не рассматриваются, но рассматривается вычитательные приемы, основанные на этих правилах.
1)48-6=(40+8)-6=40+(8-6)=40+2=42 числа из суммы
2)68-40=(60+8)-40=(60-40)+8=20+8=28 числа из суммы
3) 30-6+(20+10)-6+(10-6)+20=20+4=24 числа из суммы
4) 42-8=42-(2+6)=(42-2)-6=40-6=34 суммы из числа, число из суммы
5) 60-24=60-(20+4)=(60-20)-4=40-4=36 суммы из числа, числа из суммы
6) 57-32=57- (30+2)=(57-30)-2=27-2=25 суммы из числа
2 вопрос
400-260=400-(200+60)=(400-200)-60=200-60=140
Билет №12.
Произведением 2-х целых неотрицательных чисел А и В называется число элементов декартова произведения множеств А и В таких, что n(A)=a, n(B)=b. a·b=n(A·В), где n(A)=a, n(B)=b.
Данное определение позволяет нам найти произведение любых целых неотрицательных чисел. Например произведение чисел 3 и 2.
Возьмем 2 множества А и В такие, что
n(A)=3 A={a,b,c};
n(B)=2 B={8,9}
Найдем декартово произведение множеств А и В (мн-во упорядоченных пар, первая компонента каждая принадлежит мн-ву А, а вторая мн-ву В).
A?B={(a,8),(a,9),(b,8),(b,9),(c,8),(c,9)} Подсчитаем число элементов декартово произведения, оно равно 6
n(A·B)=6 и 3·2=6
В школьном курсе математики уч-ся знакомятся с другим определением произведения. Произведением 2-х целых неотрицательных чисел а и в называют такое целое неотрицательное число с которое удовлетворяет следующим условиям:
1) если b>1, то произведением чисел а и в называется сумма b слагаемых, каждое из которых равна а a·b=a+a+a+…+a;
2) если b=1, то а·1=а
3) если b=0, то а·0=0.
Данное определение так же позволяет найти любых целых неотрицательных чисел. Например: 3·2=3+3=6.
Действие, при помощи которого находят произведение, называется умножением. Для действия умножения выполняются переместительный и сочетательный законы.
Коммутативный(переместительный) a·b=b·a Для любых целых неотрицательных чисел a и b выполняется равенство - произведение чисел а и b равно произведению чисел b и а.
Сочетательный (ассоциативный). (a·b)·c=a·(b·c) Для любых целых неотрицательных чисел a, b, c выполняется равенство - произведение произведения чисел a и b и числа c равно произведению числа а и произведению чисел b и с.
Методика:
В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с переместительным и сочетательным законами умножения, которые звучат так:
Переместительный закон: от перестановки мест множителей, произведение не меняется.
Сочетательный закон ( Моро рассматривает как правило умножения числа на произведение, которое звучит так: умножить число на произведение можно разными способами:
1) вычислим значение произведения и умножим число на полученный результат: 2*(3*6)=2*18=36
2) умножим число на 1ый множитель и полученный результат умножим на 2ой множитель
2*(3*6)=(2*3)*6=6*6=36
Эти свойства используются при умножении чисел: переместительное свойство используется при получении таблицы умножения: сначала получают таблицу умножения числа 5. Дети получают эту таблицу, заменяя умножение сложением одинаковых слагаемых, 5*5=5+5+5+5+5=25 5*6=25+5=30 5*7=30+5
Затем учащиеся получают таблицу умножения на число 5.
Для получения результата используется предыдущая таблица и переместительное свойство умножения. 6*5 7*5 8*5
Также переместительное свойство может быть использовано для удобства вычислений. Удобно большее умножать на меньшее: 3*286 – получается 3 неполных произведения, удобнее 286*3
Сочетательное свойство используется как при выполнении устных вычислений, так и при выполнении письменных вычислений.
15*12=15(4*3)=(15*4)*3=60*3=180
А также при умножении числа на числа, оканчивающиеся нулями: 28*600=28*(6*100)=(28*6)*100
Это свойство находит свое отражение при письменном умножении. 28*600
В основе лежит сочетательное свойство умножения.
Пишу 2ой множитель под первым так, чтобы 1аф цифра справа, отличная от 0 2го множителя была под единицами 1го множителя. Умножаем, не обращая внимания на 0. И к полученному результату приписываю столько нулей, сколько их было в конце записи 2го множителя.
2 вопрос:
1) при изучении данной темы используется метод неполной математической индукции, которая заключается в том, что исходя из того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод, что этим свойством обладают все объекты данного класса.
Мы видим, что сочетательное свойство рассматривается для чисел 6,4,2//6,3,2//6,7,2
Но делается вывод относительно всех чисел.
2)У детей могут возникнуть трудности при соотнесении математических записей и рисунка. Поэтому целесообразно сначала с детьми разобрать, что может обозначать каждое число в математич записи применительно к рисунку, а затем поставить перед детьми вопросы: «что находим, мы сначала умножаем 6*4, а потом на 2?» или 4*2, а потом на 6?
У результате выясняется, что мы подсчитываем одно и тоже количество квадрата.
Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Условие существования разности на множестве целых неотрицательных чисел (с доказательством). Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация (с доказательством).