История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Лекция № 5


Тема: Метод математической индукции.


Одним из самых важных методов математических доказательств по праву являетсяметод математической индукции. Подавляющее большинство формул, относящихся ко всем натуральным числам n, могут быть доказаны методом математической индукции (к примеру, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии , формула бинома Ньютона  и т.п.).
В этой статье сначала остановимся на основных понятиях, далее рассмотрим сам метод математической индукции и разберем примеры его применения при доказательстве равенств и неравенств.

Индукция и дедукция.

Индукцией называют переход от частных утверждений к общим. Напротив, переход от общих утверждений к частным называется дедукцией.
Пример частного утверждения: 254 делится на 2 без остатка.
Из этого частного утверждения можно сформулировать массу более общих утверждений, причем как истинных так и ложных. К примеру, более общее утверждение, что все целые числа, оканчивающиеся четверкой, делятся на 2 без остатка, является истинным, а утверждение, что все трехзначные числа делятся на 2без остатка, является ложным.
Таким образом, индукция позволяет получить множество общих утверждений на основе известных или очевидных фактов. А метод математической индукции призван определить справедливость полученных утверждений.
В качестве примера, рассмотрим числовую последовательность: , n – произвольное натуральное число. Тогда последовательность сумм первых n элементов этой последовательности будет следующая

Исходя из этого факта, по индукции можно утверждать, что .
Доказательство этой формулы приведем чуть ниже.

Метод математической индукции.

В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции.

Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если

1. 
   оно справедливо для n = 1 и
   
2. 
   из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натуральногоn = k следует его справедливость для n = k+1.
   

То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:

1. 
   во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);
   
2. 
   во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k;
   
3. 
   в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.