История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Определение. Умножением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:
1) (" а Î N) а× 1 а.
2) (" а, b Î N) а× b' = а × b + а.
Число а × b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b - множителями.
Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта..
Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.
Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.
Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в оп­ределении умножения: 1 • 1 = 1; 2 •1 = 2; 3 •1 = 3 и т.д.
Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1 • 2 = 1 • 1' = 1 • 1 + 1 = 1 + 1 = 2- переход от произведения 1 • 2 к произведению 1 • 1' осуще­ствлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выраже­ния 1 • 1' к выражению 1 + 1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1 • 1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1 + 1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично: 2 • 2 = 2 • 1' = 2 • I + 2 = 2 + 2 = 4; 3 • 2 = 3 • 1' = 3 • 1 + 3 = 3 + 3 = 6.
Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.
Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассо­циативно и дистрибутивно относительно сложения.При аксиомати­ческом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.
Но в связи с тем. что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.