История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Теорема 4. (" а, b, с Î N) (а + b) + с = а + (b + с).
Теорема 5. (" а, b Î N) а + b = b + а.
Теорема 6. (" а, b Î N) а + b ¹ b.
Все доказанные свойства изучаются в начальном курсе математики и используются для преобразования выражений.
Упражнения
1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы?
2. Используя определение сложения, найдите значение выражений:
а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.
3. Какие преобразования выражений можно выполнять, используя
свойство ассоциативности сложения?
4. Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения:
а) (12 + 3)+17; б) 24+ (6+19); в) 27 + 13+18.
5. Докажите, что (" а, b Î N) а + b ¹ а.
6. Выясните, как формулируются в различных учебниках математики для начальной школы:
а) коммутативное свойство сложения;
б) ассоциативное свойство сложения.
7. В одном из учебников для начальной школы рассматривается
правило прибавления числа к сумме на конкретном примере (4 + 3) + 2
и предлагаются следующие пути нахождения результата:
а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;
б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;
в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 =9.
Обоснуйте выполненные преобразования. Можно ли утверждать, что правило прибавления числа к сумме есть следствие ассоциативно­го свойства сложения?
8. Известно, что а + b= 17. Чему равно:
а) а + (b + 3); b) (а + 6)+ b; в) (13 + b) + а?
9. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида
а + b + с. Дайте обоснование этим способам и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.
Умножение
По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.
Предварим определение умножения следующими рассуждениями.
Если любое натуральное число а умножить на 1. то получится а, т.е. имеет место равенство а × 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом:
если известно, что 7 × 5 = 35, то для нахождения произведения 7 × 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 × 6 = 7× (5 + I) = 7 × 5 + 7. Таким образом, произведение а × b' можно найти, если известно произведение: а × b = а × b +а.
Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.