История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Теорема 8. (" а, b, с Î N) (а + b) • с = а • с + b • с.
Теорема 9. (" а, b, с Î N) с •(а + b) = с • а + с • b
Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.
Теорема 10. (" а, b, с Î N) (а • b) • с = а • ( b • с).
Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4- 9.
Теорема 11.(" а, b Î N) а • b = b • а.
Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.
Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения иcпользуется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.
В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.
Упражнения
1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3 • 3; 6) 3 • 4; в) 4 • 3.
2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?
3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?
4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.
5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:
а) 5 • (10 + 4); 6)125 • 15 • 6; в) (8 • 379) • 125?
6. Известно, что 37 • 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:
а) 37 • 18; 6) 185 • 12.
Все выполненные преобразования обоснуйте.
7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:
а) 8962 • 8 + 8962 • 2; б) 63402 • 3 + 63402 • 97; в) 849 +849 • 9.
8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся началь­ных классов, выполняя следующие задания:
Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) 3 • 7 + 3 • 5; 6) 7 • (5 + 3): в) (7 + 5) • 3?
Верны ли равенства:
а) 18 • 5 • 2 = 18 • (5 • 2); в) 5 • 6 + 5 • 7 = (6 + 7) • 5;
б) (3 • 10) •17 = 3 • 10 • 17; г) 8 • (7 + 9) = 8 • 7 + 9 • 8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:
а) 70 • 32 + 9 • 32 ...79 • 30 + 79 • 2; 6) 87 • 70 + 87 • 8 ... 80 • 78 + 7 • 78?