История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Упражнения
1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?
2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?
3. Докажите, что:
а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с);
б) если а > b + с, то а - ( b + с) = (а - b) - с.
4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:
а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),
б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.
а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;
б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;
в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.
5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:
а) 12-5
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 = 16-6 - П;
в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;
г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.
7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.
Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.
8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.
а) 7865 × 6 – 7865 ×5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.
Деление
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.
Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b× с = а.
Число а:b называется частнымчисел а и b, число а делимым, число b - делителем.
Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие суще­ствования частного.