История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Теорема 21. Пусть а. b и с - натуральные числа.
а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.
б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).
в) Если а > c и b > с. то можно использовать любую из данных формул.
Доказательство. В случае а) разность чисел а и c существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х. откуда а = с + х. Если (а + b) - с = у. то, по определению разности, а + b = с + у. Подставим в это равенство вместо авыражение с + х: (с + х) + b = с + у. Воспользу­емся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у. Преоб­разуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:
х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b
Аналогично проводится доказательство и в случае б).
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полу­ченному результату прибавить другое слагаемое.
Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.
Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.
Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа по­следовательно каждое слагаемое одно за другим.
В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над одно­значными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычита­ние связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычис­лениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуж­дают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных прие­мов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;
а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 +(16- 10) = 40 + 6 = 46.