История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Теорема. Если разность существует, то она единственная.
Дано: а-в – существует.
Доказать: а-в – единственная.
Доказательство. Предположим, что разность а и в не единственная. Пусть  и  , где  . Тогда  и  (зависимость между компонентами и результатом действия вычитания)Þ Левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенства (теорема о равенстве)  =  Þ Суммы равны, одно из слагаемых равно Þ  . Мы пришли к противоречию с выдвинутым предположением (  ), следовательно, наше предположение неверно. Если разность существует, то она единственная.
Действие, при помощи которого находят разность а — в, называется вычитанием, чис­ло а— уменьшаемым, число b — вычитаемым.
Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обра­щаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между дейст­виями вычитания и сложения.
Пусть даны целые неотрицательные числа аи в, такие, что а= п(А),в— п(В)и В А, и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества Вдо множества А, т. е. а — в = п(А\В).
На кругах Эйлера множества А, В, А\Визображаются так:
Известно, что A = B (A\B),откуда п(А) = п (В (А\В)).Так как В∩(А\В)= Ø, то имеем п(А) = п (В(А\В)) = п(В) + (А\В)= в +(а — в).Следовательно, получаем, что а = в + (а — в), т. е. разность а — в есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.
Установленный факт дает возможность по-другому дать опреде­ление разности.
Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа в равна а.
Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что существуют два значения разности a-b: a-b=c1 и a-b=c2. Тогда по определению разности имеем a=b+c1 и a=b+c2. Отсюда следует b+c1=d+c2 и, значит, c1=c2.
Теорема.Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b < или = а.
Доказательство. Если а=b, то а-b=0, и, следовательно, разность а-b cсуществует.
Если b<а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что а=b+с. Тогда по определению разности с=а-b, т.е. разность а-b существует. Если разность а-b существует, то по определению разности найдется такое целое неотрицательное число с, что а=b+с. Если с=0, то а=b, если с>0, то b <а по определению меньше. Итак, b<или = а.