Исследования

Критерий хи-квадрат. У критерия Колмогорова
имеется одно существенное ограничение. Этот крите-
рий применяется лишь для анализа случайных вели-
чин, имеющих непрерывное распределение. Поэтому
применять его, например, к дискретным случайным
величинам нельзя. Но именно с такими случайными
величинами чаще всего приходится сталкиваться в
психологии. По отношению к ним следует использо-
вать критерий хи-квадрат.
Пусть некоторое действие имеет г исходов, веро-
ятность каждого из которых обозначим соответствен-
но
 ...,
Это
выполняется п раз. В
результате каждый из исходов появляется соответ-
ственно
...,
раз. По данным этого экспери-
мента необходимо проверить гипотезу, что вероят-
ность каждого исхода равняется соответственно
В формальном виде это предположение за-
писывается так:
тернатива к нему записывается следующим образом:
...,
Для проверки нулевой гипотезы используется ста-
тистика хи-квадрат:

---

Математические методы в психологии
Доказано (К. Пирсон), если нулевая гипотеза верна и
эта статистика имеет распределение хи-квадрат с
степенями свободы. При
если гипоте-
за неверна, т. е.
тогда сумма, умножаемая на п в
формуле
стремится к константе, а вся статистика
стремится к
Эти свойства статистики позволяют отверг-
нуть нулевую гипотезу, если по результатам испытаний
ее величина окажется неправдоподобно большой. Прав-
доподобность экспериментальных размеров статистики
оценивают по таблице распределения хи-квадрат с
степенью свободы (Сидоренко
с. 328).
Процедура проверки простой гипотезы по крите-
рию хи-квадрат сводится к расчету статистики
по
формуле (3.7.2.1), исходя из данных эксперимента и
предполагаемых размеров вероятностей. Затем по
таблице распределения хи-квадрат с г-1 степенью сво-
боды и выбранному уровню значимости а отыскива-
ют критическое значение статистики
 . Если ока-
жется, что эмпирическое значение статистики больше
или равно выбранному из таблицы критическому, т. е.
нулевая гипотеза отвергается, в противном
случае она принимается.
Применение критерия хи-квадрат имеет
ния. Поскольку распределение статистики асимптоти-
чески приближается к распределению хи-квадрат при
постольку число испытаний п в эксперименте
должно быть достаточно большим. Показано, что п
должно удовлетворять условию:
для любого i.
При проверке сложной гипотезы, т. е. когда изве-
стен лишь вид распределения вероятностей исходов
некоторого действия и неизвестны параметры этого
распределения, применяют модифицированную стати-
стику хи-квадрат.
Пусть действие имеет г исходов, вероятность
каждого из которых обозначим
...,
Пусть
известен вид распределения вероятностей исходов
этого действия, но неизвестен его k-мерный пара-
метр 8=
...,
Так, для нормального распре-
деления k-мерный параметр 9 = ( т , а), т. е. = a
неизвестными компонентами k-мерного параметра

---

 4
выступают математическое ожидание и стандартное
отклонение распределения.
Пусть действие выполняется в эксперименте п раз.
В результате каждый из исходов появляется
....
m
r
раз. По данным этого эксперимента необходимо про-
верить нулевую гипотезу о том, что вероятность каждого
исхода равняется соответственно
Вероятность здесь является функцией от неизвестного
параметра. В формальном виде это предположение за-
так:
=
аль-
тернатива к нему записывается следующим образом:
Для проверки подобной нулевой гипотезы исполь-
зуется модифицированная статистика хи-квадрат:
где
— оценка наибольшего правдоподобия для
параметров распределения, рассчитанная по частотам
riii,
•••r
В формуле (3.7.2.2) знаменатель дроби
можно заменить на
Доказано (Р.Фишер), если нулевая гипотеза верна
и
эта статистика имеет распределение хи-квад-
рат с
свободы.
Процедура проверки сложной гипотезы аналогич-
на процедуре проверки простой. По формуле (3.7.2.2)
рассчитывают эмпирическое значение статистики
где в качестве
выступает частота попадания значе-
ния случайной величины один из интервалов, на
которые разбивается весь ее диапазон. Предполагае-
мая вероятность попадания в соответствующий интер-
вал рассчитывается по функции предполагаемого
распределения. В качестве параметров в функцию
распределения подставляют их оценки наибольшего
правдоподобия, которые рассчитывают по частотам
...,
Для нормального распределения эти оценки наи-
большего правдоподобия совпадают с выборочными
математическим ожиданием и стандартным отклоне-
нием, но в соответствующие формулы необходимо

---