Исследования

 Глава 4
Критерий Колмогорова. Предположим, что в гене-
ральной совокупности имеется непрерывное распреде-
ление вероятности некоторого признака G(x). Назовем это
распределение истинным. Из этой генеральной совокуп-
ности сделана выборка в п объектов с выборочным рас-
пределением
Задача заключается том, чтобы по
выборочному распределению признака проверить спра-
ведливость гипотезы о совпадении предполагаемой (ги-
потетической) функции распределения этого признака
F(x) с его истинной функцией распределения G(x).
В формальном виде нулевая гипотеза записывается
следующим образом:
: F(x) = G(x), а альтернативная:
Для проверки нулевой гипотезы используется ста-
тистика Колмогорова:
sup
(3.7.1.1)
где sup (супренум) — верхняя граница функции,
стоящей за знаком супренум, под этим знаком указы-
вается область ее определения.
Если нулевая гипотеза верна, тогда F(x) — G(x), если
тогда
При этих условиях
Если
нулевая гипотеза неверна, т. е.
и
тогда
будет стремиться к
G(x)-F(x) а эта величина
является положительной. Такое поведение статистики
позволяет отвергать нулевую гипотезу при неправдо-
подобно больших значениях
Для оценки правдоподобности величины
необхо-
димо знать ее распределение. Колмогоров показал, что при
выполнении условий нулевой гипотезы распределение
статистики не зависит от вида функции G(x) и определя-
ется лишь величиною выборки п. По предложенным им
формулам рассчитаны таблицы функции распределения
вероятности для статистики
(Рунион Р., 1982, с. 141).
Для больших п (п>50) используют статистику
=
распределение которой, вычисленное по
приближенной формуле, сведено в таблицы (например,
Сидоренко Е.В., 1996, с. 329). Если сравниваются два
эмпирических распределения, используют статистику