Исследование устойчивости и стабилизация движения транспортных средств. Двухколесный велосипед

Гироскопическая стабилизация. Как показывает рис. 5 минимальная скорость устойчивого движения велосипеда резко возрастает при стремлении массы рамы к массе колеса. В данном пункте работы исследована устойчивость движения велосипеда при наличии гироскопической стабилизации. Впервые исследования движения твердых тел с гироскопом начали проводиться в конце 19 века. В 1892 г. Бобылев [10] разрешил в эллиптических функциях времени задачу о движении без скольжения по горизонтальной плоскости шара с гироскопом внутри. В то же время эту задачу исследовал Жуковский [11]. Известна классическая задача гироскопической стабилизации однорельсового вагона [3]. В работе [6] рассматривается система стабилизации вертикального положения двухколесного робота-велосипеда.
По теореме Томсона - Тета - Четаева гироскопическую стабилизацию можно осуществить только при четном числе неустойчивых координат. В нашей задаче имеется две неустойчивые координаты: угол θ и угол . Следовательно, гироскопическую стабилизацию движения велосипеда можно осуществить. Пусть в невозмущенном состоянии ось гироскопа, центр масс которого совпадает с центром масс рамы, направлена вдоль оси, проходящей через центр массС рамы параллельно оси . Предположим, что рама повернулась относительно оси на малый угол , а относительно оси на малый угол . Пусть угловая скорость поворота будет . Если гироскоп вращается вокруг собственной оси с угловой скоростью , , то согласно правилу Жуковского со стороны гироскопа будет действовать пара сил с гироскопическим моментом , поворачивающая ось вращения гироскопа в сторону вектора . При этом имеет место соотношение


,

где момент инерции гироскопа.

Добавим в систему уравнений (14) гироскопический момент , получим


(25)

Ведя обозначения

, ,
, , ,

где - некоторые константы [1], будем иметь

.
Получим первый корень .
Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение , необходимо, чтобы имело место соотношение


,
или .

Подставим вместо его выражение (9), получим

Сгруппируем по степеням и обозначим коэффициенты соответственно при

, ,
,

.

Теперь характеристическое уравнение запишется в виде

.

Для исследования устойчивости соответствующего движения применим критерий Рауса-Гурвица. Матрица из коэффициентов характеристического уравнения будет иметь вид

Условие устойчивости:

,

Значение больше нуля. Так как , то при значение также больше нуля. Следовательно, нужно определить значения , при которых и имеют положительные значения.

Исследование значений и проводились численными методами.
Результаты приведены ниже.

Если угловая скорость гироскопа w1=0, то устойчивое движение велосипеда начинается при угловой скорости колесаw>64. При угловой скорости гироскопа w1=1700 область устойчивого движения велосипеда начинается со значения w>1.93

На рис. 8 приведен график зависимости минимальной угловой скорости колеса при устойчивом движении велосипеда с гиростабилизаторомот соотношения массы рамы к массе колеса, угловая скорость вращения гироскопа .