Исследование устойчивости и стабилизация движения транспортных средств. Двухколесный велосипед

Уравнения движения велосипеда. Перепишем последнюю систему, добавив в обозначения моментов инерции рамы и ее массы индекс , а угол поворота рамы, совпадающий с углом поворота заднего колеса, обозначим .


(13)

Добавим в уравнения движения переднего колеса (7) уравнения движения заднего колеса (8) и уравнения движения рамы (13). Учитывая соотношение , получим полную математическую модель движения велосипеда.

(14)
Исследование устойчивости движения. Исследование устойчивости движения, соответствующего модели (14) с помощью имитационной модели.
Введем обозначения


, ,
, , ,
тогда , , , .

Перепишем уравнения (14) в новых обозначениях

.

Получим первый корень .

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение , необходимо, чтобы имело место соотношение


,
или .

Далее имеем

.
Введем еще обозначения


,

и подставим вместо его выражение (6), получим

Сгруппируем по степеням

.

Далее обозначим

.

Теперь характеристическое уравнение запишется в виде

.

Для исследования устойчивости соответствующего движения применим критерий Рауса-Гурвица [9].

Запишем матрицу из коэффициентов характеристического уравнения в виде

Условие устойчивости:

,

Значение больше нуля. Так как , то при значение также больше нуля. Следовательно, нужно определить значения , при которых и имеют положительные значения.

Исследование значений и проводились численными методами. При этом были приняты следующие значения для величин, входящих в и . м., кг., 2 м., м. Отношение массы рамы к массе колеса задавалось параметром , .
Предполагая, что масса колеса сосредоточена по его ободу, получим моменты инерции колеса . Моменты инерции в формулах (14) определены относительно осей , , . Тогда моменты инерции колеса относительно осей, параллельных осям , , и проходящим через центр масс колеса будут


, , .

Моменты инерции определяются формулами

, ,


. Моменты инерции рамы определялись по упрощенным формулам , (момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня), .
Численные расчеты показали, что больше нуля для любых значений . Это означает, что устойчивость движения велосипеда определяется только знаком определителя
При , когда масса рамы близка к нулю, устойчивое движение велосипеда начинается при угловой скорости рад/с. Если радиус колеса м., то это соответствует линейной скорости велосипеда равной 1 м/с. или 3,6 км/ч. При устойчивое движение велосипеда начинается при угловой скорости рад/с, что соответствует линейной скорости велосипеда равной 2,17 м/с. или 7,8 км/ч. Если , т.е. масса рамы равна массе колеса, минимальная угловая скорость, при которой возможно устойчивое движение велосипеда существенно увеличивается: рад/с, это соответствует линейной скорости велосипеда равной 22,4 м/с. или 80,6 км/ч, (рис. 4). На рис. 5 приведен график зависимости минимальной угловой скорости от параметра при устойчивом движении велосипеда ( ).
На рис. 6 изображена поверхность, отображающая зависимость от угловой скорости и параметра . При приближении массы рамы к массе колеса устойчивость движения резко снижается.