Áиринчи боб

Òеорема-3.  int A  A
Òеорема-4. A тўплам очиқ тўплам бўлиши учун intAA муносабатнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.
Òеорема-5. Ќар қандай A тўплам учун ёпиқ тўпламдир.
Учинчи теореманинг исботи. Ñизларга маълумки AB муносабат AB, BA муносабатларга тенг кучлидир. Äемак  intA∂A ва intA∂A муносабатларни исботлашимиз керак.
Àгар  бўлса, нинг ихтиёрий атрофида A тўпламга тегишли нуқталар мавжуд. Àгар нинг ихтиёрий атрофида X\A га тегишли нуқталар ќам бўлса, унда ∂A. Ëекин нинг бирорта U атрофида X\A га тегишли нуқталар бўлмаса, унда UA ва демак intA. Áу мулоќазаларимиздан,  intA∂A эканлиги келиб чиқади. Ýнди intA∂A бўлсин. Демак intА ёки ∂A муносабат бажарилади. Иккала ќолда ќам нинг ихтиёрий атрофида А тўпламга тегишли нуқталар мавжуд ва демак  . 
Тўртинчи теореманиíã исботи ўқувчиларимизãà ќавола этиëàди.
Бешинчи теореманинг исботи. нинг ёпиқ тўплам эканлигини исботлаш учун Х\ тўпламнинг очиқ тўплам эканлигини исботлаймиз. Бунинг учун Х\ га тегишли ихтиёрий нуқтани қарайлик. Демак, нуқта га тегишли эмас ва шунинг учун уни шундай U атрофи мавжудки, бу атрофда А га тегишли нуқталар йўқ, яъни UA. Шунинг учун UХ\ , яъни нуқта Х\ нинг ички нуқтасидир. Тўртинчи теоремага кўра Х\ очиқ тўпламдир. 
Теорема-6. Ихтиёрий ёпиқ А тўплам учун А муносабат ўринлидир.
Исбот. Ќар доим А бўлганлиги учун ёпиқ А тўплам учун А муносабатни исботлаш етарли. Бунинг учун га тегишли ихтиёрий нуқтани қарайлик. Агар Х\А бўлса, Х\А очиқ òўïëàì áўëãàíëèãè âà óðèíèø íóқòàñè ýêàíëèãèäàí (Õ\À)À муносабат келиб чиқади. Бу қарама-қаршилик А эканлигини кўрсатади. 
Энди (Х, ) топологик фазо, ва АХ – бирорта қисм тўплам бўлсин. Берилган А тўпламни ќам  топология ёрдамида топологик фазога айлантириш мумкин. Бунинг учун А тўпламда оила топология эканлигини кўрсатамиз:

1. 
   X бўлганлиги ва XA=A тенгликдан A_A келиб чиқади.
   
2. 
    бўлганлиги ва A= тенгликдан _A келиб чиқади.
   
3. 
   A₁,A₂_A бўлса, G₁,G₂ тўпламлар мавжуд бўлиб,
   

тенглик ўринли бўлади. Бу ерда бўлганлиги учун бўлади.

4. 
   _A оилага тегишли тўпламлар оиласи берилган бўлса,  га тегишли G_ тўпламлар мавжуд бўлиб, тенглик ўринли бўлади. Бу ерда бўлганлиги учун йиђинди _A оилага тегишли бўлади.
   

Демак (A, _A) жуфтлик топологик фазо бўлади. Бу ќолда _A топологияни А тўпламда Х топологик фазодаги  топология ёрдамида аниқланган ёки келтирилган топология деб аталади.