Áиринчи боб

§ 5. Узлуксиз акслантиришлар

Х , У - ихтиёрий тўпламлар бўлиб , Х нинг ќар бир, элåментига У нинг битта элементи мос қўйилган бўлса, Х ни У га акслантирувчи мослик ёки акслантириш берилган дейилади ва f : Х  У кўринишда ёзилади.

Агар f : XY акслантириш берилган бўлса , Х учун  f( ) элемент нинг акси (ёки образи ) , Y учун f^-1 ( ){ X : f( ) } тўплам нинг асли (ёки прообрази ) дейилади. АХ қисм тўплам учун унинг образи f(A){f( ): A} ВY қисм тўплам учун унинг прообрази f^-1 (B){ : A ва f( ) B} аниқланади. Агар f(Х)Y бўлса, f ни устлама акслантириш, f(Х)Y бўлганда эса ичига акслантириш деб атаймиз.
Бирорта f акслантириш учун ₁, ₂Х ва ₁ ₂ дан f( ₁)f( ₂) келиб чиқса, f ўзаро бир қийматли акслантириш дейилади.
Энди Х , Y - топологик фазолар бўлсин.
Таъриф. f : X Y акслантириш берилган, Х бўлиб у f ( ) нуқтанинг ихтиёрий V атрофи учун нинг aтрофи мавжуд бўлиб,
U f^-1(V) муносабат бажарилса f акслантириш нуқтада узлуксиз дейилади.
Агар f акслантириш бирор А тўпламга тегишли ќамма нуқталарда узлуксиз бўлса, у А да узлуксиз дейилади. Агар Х нинг ќамма нуқталарида узлуксиз бўлса, у узлуксиз акслантириш дейилади.
Теорема-20. Берилган f аклантириш узлуксиз бўлиши учун ихтиёрий GY очиқ тўпламнинг прообрази f^-1(G) очиқ бўлиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. f узлуксиз акслантириш, GY очиқ тўплам бўлсин. f^-1(G) очиқ эканлигини кўрсатишимиз керак. Агар f^-1(G) бўлса, f( )G бўлади. f акслантириш
нуқтада узлуксиз бўлганлиги учун нинг шундай U атрофи мавжудки, U  f^-1(G) бўлади. Бундан эса келиб чиқади. Демак, f^-1(G) очиқ тўпламдир.
Етарлилик. Энди ихтиёрий GY очиқ тўплам учун f^-1(G) очиқ тўплам, Х бўлсин. yf( ) нуқтанинг ихтиёрий атрофи V ни қарасак, у очиқ бўлганлиги учун Uf^-1(V) очиқ тўплам бўлади. Ундан ташқари f^-1(U) ва U f^-1(V) Демак f акслантириш нуқтада узлуксиздир. Бу ерда ихтиёрий нуқта бўлганлиги учун f узлуксиз акслантириш бўлади.
Умуман олганда, узлуксиз акслантиришда очиқ тўпламнинг образи î÷èқ бўлиши шарт эмас. Мисол учун, XR²( , ) ва YR²(u,v) фазолар учун f акслантириш f( , )(sin ,сos ) қоида билан аниқланса, {( , )R²: ² ²<1} доиранинг оáрàçè R² да очиқ тўплам эмас. Агар f акслантириш f( , )(e сos , e sin ) қоида билан берилса, {( , )
( 0, 0)} ёпиқ тўплам îáðàçè ёпиқ эмас.