Áиринчи боб

Òåîðåìà-16. Õ,Y - òîïîëîãèê ôàçîëàð, ÀÕ, ÂY - êîìïàêò òўïëàìëàð áўëñà, ÀÂ - òўђðè êўïàéòìà ќàì ÕY òîïîëîãèê ôàçîäà êîìïàêò òўïëàìäèð.
Энди бевосита 15-теорема исботига қайтайлик. А тўплам чегара­ланган бўлганлиги учун уни ўз ичига олувчи Q_r куб мавжуд. А ёпиқ бўлганлиги учун унинг тўлдирувчиси Rⁿ\ A очиқ тўпламдир. Энди {U_a} оила А тўпламнинг очиқ қобиђи бўлса, { U_a }  { Rⁿ \ A } оила Q_r нинг очиқ қобиђи бўлади. Q_r компакт бўлганлиги учун бу оиладан чекли қоплама ажратиш мумкин. Ќосил бўлган қопламадан Rⁿ\ A тўпламни чиқариб А тўплам учун { U_a } оиладан ажратилган чекли қоплама ќосил қиламиз. Теорема исботи тугади.


III.Топологик фазо базаси

(Х,) - топологик фазо , B{U_a} - очиқ тўпламлар оиласи бўлсин, яъни U_a. (Х,) фазонинг ихтиёрий очиқ А қисм тўпламини B га тегишли тўпламлар йигиндиси сифатида ёзиш мумкин бўлса, B оила (Х,) топологик фазонинг базаси деб аталади.

Мисол. ХRⁿ, - эса евклид топологияси бўлсин. Бизга маълумки, Агар ихтиёрий  А учун шундай r > 0 мавжуд бўлиб, ( )А бўлса А тўплам очиқ дейилади. Демак, А очиқ тўплам бўлса, А ( ), яъни А ни очиқ шарлар йиђиндиси сифатида ёзиш мумкин. Бундан келиб чиқадики , Rⁿ да ќамма очиқ шарлардан ва бўш тўпламдан иборат оила Евклид топологияси учун база хосил қилади. Умуман олганда бу фаêò ихтиёрий ( Х, ) метрик фазо учун ўринлидир, яъни очиқ шарлар ва бўш тўпламдан иборат оила метрик фазо учун базани ташкил қилади. Энди топологик фазо базасининг асосий хоссаларини ўрганамиз.
Теорема - 17. Â{U_} оила (Х, ) топологик фазо базаси бўлиши учун ихтиёрий нуқта Х ва унинг ихтиёрий U атрофи учун B га оилага тегишли ва   U муносабати қаноатлантирувчи тўпламнинг мавжудлиги зарур ва етарли.