Áиринчи боб

Теорема-9. { A_}- бођланишли тўпламлар оиласи ва   бўлса, А тўплам ќам бођланишли тўпламдир.
Исбот. Фараз қилайлик А тўплам бођланишсиз бўлсин. Бођланишсиз тўплам таърифига кўра шундай очиқ G₁ ва G₂ тўпламлар мавжудки ,
A  (G₁A)(G₁A)
(AG₁)(AG₂)  
AG₁, AG₂
муносабатлар ўринлидир.
Биринчи муносабатдан ихтиёрий  учун A_(A_G₁)(A_G₂) тенглик келиб чиқади. Ундан ташқари, иккинчи муносабатдан ва А_А эканлигидан (A_G₁)(A_G₂)  тенглик келиб чиқади.
Демак, A_(A_G₁)(A_G₂) ва А_ бођланишли бўлганлиги учун (AG₁) , (AG₂)  тенгликлардан бирортаси ўринлидир.
Агар бирорта ₀ учун A_G₁ бўлса унда A_G₂ бўлади. Лекин
A_ дан ќамма  лар учун A_G₂ эканлиги келиб чиқади. Бундан эса AG₁ тенгликни ќосил қиламиз. Бу қарама-қаршилик теорема исботини якунлайди.
Энди хХ бўлса, Н билан х нуқта тегишли бўлган ќамма бођланишли тўпламлар йиђиндисини белгилайлик. Бу тўпламларнинг ќаммасига х тегишли бўлганлиги учун 9-теорема шарти бажарилади. Демак, Н бођланишли тўпламдир. Н тўпламни х тегишли бўлган бођланишлилик компонентаси деб атаймиз. Аниқланишига кўра Н тўп­лам х тегишли бўлган бођланишли тўпламларнинг энг каттасидир.
Теорема-10. Ќар хил икки нуқталар учун улар тегишли бўлган бођланишлилик компоненталари ёки кесишмайди ёки устма-уст тушади.
Исбот. , Х ва  бўлса, улар тегишли бўлган бођланиш­лилик компоненталарини Н ва Н билан белгилайлик. Агар Н Н  бўлса, 9-теоремага кўра НН Н тўплам áођланишли бўлади ва бођланишлилик компонентасининг таърифига кўра НН Н тенглик келиб чиқади. 