Áиринчи боб

II БОБ


Ч и з и қ л а р н а з а р и я с и

Бу бобда биз дифференциал геометрия курсининг асосий объект­ларидан бири бўлган эгри чизиқ тушунчасини киритамиз, унинг берилиш усулларини ва асосий геометрик характеристикаларини ўрганамиз.

§ 1. Эгри чизиқ ва унинг берилиш усуллари


Таъриф-1: Фазодаги (ёки текисликдаги) тўплам бирорта очиқ интервалнинг топологик (гомеоморф) акслантиришдаги образи бўлса, у элементар эгри чизиқ деб аталади.
Бу таърифга кўра, бирорта акслантириш учун, тенглик ўринли ва топологик акслантириш бўлса, элементар эгри чизиқ деб аталади.
Биз акслантириш ёрдамида берилган элементар эгри чизиқни қарайлик. Очиқ интервалга тегишли ихтиёрий га мос келувчи нуқтани билан белгиласак, гомеоморфизмни кўринишда ёза оламиз.
Бу нуқтанинг координаталарини лар билан белгиласак, акслантириш

кўринишда бўлади. Шунинг учун қуйидаги тенгликлар системаси нинг параметрик тенгламалари дейилади:

Табиийки, узлуксиз бўлганлиги учун, координаталар нинг узлуксиз функцияларидир. Агар элементар эгри чизиқ функциянинг графиги бўлса, унинг параметрик тенгламалари кўринишда бўлади. Элементар эгри чизиқнинг параметрик тенгламалари акслантириш ёрдамида аниқланади. Шунинг учун, агар ни бошқа гомеоморфизм ёрдамида аниқласак, унинг параметрик тенгламалари ўзгаради. Биринчи бобда кўрдикки, ќар қандай икки очиқ интервал ўзаро гомеоморфдир.
Шунинг учун, акслантириш ёрдамида аниқланган элементар эгри чизиқни ихтиёрий интервалнинг бошқа гомеоморф акслантиришдаги образи деб қараш мумкин. Ќақиқатдан, агар гомеоморфизм бўлса, унда ни акслантириш ёрдамида бера оламиз. Бу ерда Гомеоморфизмларнинг композицияси сифатида ќам гомеоморфизмдир. Демак, ќар бир элементар эгри чизиқни чексиз кўп усулда параметрлаш мумкин.