Áиринчи боб

§ 2.Òопологик фазолар

Õ-бирорта тўплам ва унинг баъзи қисм тўпламларидан иборат {G_} оила берилган бўлсин. Бу оила чекли сондаги элементлардан иборат бўлиши ёки унинг элементлари чексиз кўп бўлиши мумкин. жумладан,  оилага X нинг ќамма қисм тўпламлари тегишли бўлиши ќам мумкин. Шунинг учун биз индекс ўзгарувчиси  нинг қандай тўпламга тегишли эканлигини кўрсата олмаймиз. Áиз X нинг баъзи қисм тўпламларидан иборат  оиладан қуйидаги шартларининг бажарилишини талаб қиламиз:

1. 
   Õ тўплам  га тегишли бўлсин ( маълумки, ќаð қандай тўплам ўзининг қисм тўплами бўлади. Øунинг учун у  га тегишли бўлиши мумкин, бўлмаслиги ќам мумкин);
   
2. 
   Áўш тўплам  га тегишли бўлсин (бўш тўплам ќар қандай тўпламга қисм тўпламдир, шунинг учун у X нинг қисм тўплами сифатида  га тегишли бўлиши мумкин ёки бўлмаслиги мумкин);
   
3. 
    оилага тегишли ќар қандай иккита тўпламнинг умумий қисми (кесишмаси)  оилага тегишлидир.
   
4. 
    оилага тегишли қисм тўпламлардан иборат ихтиёрий { } îила учун йиђинди ќам  га тегишли бўлсин. Áу ерда { } оила чекли сондаги элементлардан иборат ёки чексиз кўп элементлардан иборат бўлиши мумкин. Øунинг учун бу ерда ќам биз индексдаги ўзгарувчи  тегишли тўпламни кўрсата олмаймиз. Æумладан, { } оила  оила билан устма-уст тушиши ќам мумкин. Þқоридаги талаб қилинган 4 та шартлар бажарилган тақдирда (Õ,  ) жуфтлик топологик фазо деб аталади,  эса X тўпламдаги топология деб аталади. Äемак, бирорта тўпламни топологик фазога айлантириш учун унинг юқоридаги шартларни қаноатлантирувчи қисм тўпламларидан иборат бирорта оилани аниқлаш етарлидир. (X, ) топологик фазо бўлса, X нинг эле­ментлари нуқталар деб,  га тегишли X нинг қисм тўпламлари очиқ тўпламлар деб аталади. Þқоридаги келтирилган 1) - 4) шартларни топологик фазо аксиомалари деб атаймиз. Øундай қилиб, биз ќозир умумий топологиянинг асосий тушунчаси топологик фазо тушунчасини киритдик. энди бир нечта мисоллар келтирайлик.
   

1 - мисол.
XRⁿ бўлса,  билан биринчи параграфда киритилган Rⁿ даги очиқ тўпламлар оиласини белгилаймиз. Биринчи теоремага кўра,  топология бўлади. Бу топология евклид топологияси деб аталади.
2 - мисол.
X-ихтиёрий тўплам,  оила бўш тўплам ва X дан иборат бўлса, (X,  ) жуфтлик топологик фазо бўлади. Áу топологик фазода фақат иккита очиқ қисм тўплам мавжуд.
3 - мисол.
X-ихтиёрий тўплам,  оила X нинг ќамма қисм тўпламларидан иборат оила бўлсин. Бу топологик фазода ихтиёрий қисм тўплам очиқ тўпламдир.
(X,  ) - топологик фазода, AX тўплам учун унинг тўлдирувчиси X\A очиқ тўплам бўлса, A тўплам ёпиқ тўплам деб аталади. Òопологик фазо аксиомаларидан фойдаланиб ёпиқ тўпламлар учун қуйидаги хулосаларни исботлаш мумкин:

1. 
   X ёпиқ тўпламдир;
   
2. 
   бўш тўплам ёпиқ тўпламдир;
   
3. 
   чекли сондаги ёпиқ тўпламларнинг йиђиндиси ёпиқ тўпламдир;
   
4. 
   ихтиёрий ёпиқ тўпламлар оиласи учун бу тўпламлар кесишмаси (умумий қисми) ёпиқ тўпламдир;
   

Áу хоссаларни исботлаш ўқувчиларга ќавола қилиíàди.
(X, ) - топологик фазо, X бўлсин. Àгар U очиқ тўплам бўлиб, U бўлса, U тўплам нинг атрофи дейилади. Øундай қилиб, нуқта тегишли бўлган ихтиёрий очиқ тўплам шу нуқтанинг атрофи дейилар экан. AX, X бўлиб, нуқтанинг бирорта атрофи U учун UA муносабат бажарилса, нуқта A тўпламнинг ички нуқтаси дейилади. A тўпламнинг ички нуқталари тўпламини intA билан белгилаймиз. Àгар нуқтанинг ихтиёрий атрофи U учун AU âà (X\A )U муносабатлар бажарилса нуқта A тўпламнинг чегаравий нуқтаси дейилади. ×егаравий нуқталар тўпламини ∂A кўринишда белгилаймиз.
4 – Ìисол.
ÕR¹, A( ) бўлсин. Áу ерда - ќақиқий сонлар ва а< . Áу мисолимизда intA( ), A{ }.
5 - Ìисол.
XR¹, A - ќамма рационал сонлар тўплами бўлсин. Áу мисолимизда AX, чунки ихтиёрий ќақиқий сон учун унга яқинлашувчи рационал сонлар кетма-кетлиги мавжуд.
AX, хX бўлиб, нуқтанинг ихтиёрий атрофида A тўпламга тегишли нуқталар мавжуд бўлса, нуқта A тўпламнинг уринèø нуқтаси дейилади. A тўпламнинг ќамма уриниш нуқталари тўплами билан белгиланади ва A нинг ёпиђи деб аталади.
IntA, A ва A лар учун қуйидаги теоремалар ўринлидир.