Áиринчи боб

I боб


Ó м у м и й т о п о л о г и я э л е м е н т л а р и

Áу боб дифференциал геометрия курсини ўрганишда зарур бўладиган умумий топологиянинг асосий тушунчаларига бађишланган.

§ 1. Евклид фазосидаги топология
Ќақиқий сонлар тўпламини R¹ билан белгилаймиз ва n1 учун тўпламда ва нуқталар орасидаги масофани

формула билан аниқлаймиз. Бу киритилган функция қуйидаги шартларни қаноатлантиради.

1. 
   мусбат аниқланган: ихтиёрий x, y Rⁿ жуфтлик учун d(x,y)0 бўлиб, d(x,y)=0 бўлиши учун x=y муносабатнинг бажарилиши зарур ва етарлидир.
   
2. 
   симметрик функциядир: ихтиёрий x,y жуфтлик учун d(x,y)=d(y, x) муносабатлар ўринли.
   
3. 
   учбурчак тенгсизлигини қаноатлантиради: ихтиёрий x, y, z учта нуқта учун d(x,y)d(x,z)+d(z,y) тенгсизлик бажарилади.
   

Юқорида d(x,y) функциянинг 1, 2-шартларни қаноатлантириши рав­шан. Бу шартларнинг учинчиси сизга математик анализ курсидан маълум бўлган

Коши тенгсизлигидан келиб чиқади.
Ќақиқатан ќам, агар , , нуқталар учун белгилашлар киритсак, Коши тенгсизлигидан d(x,y)d(x,z)+d(z,y) тенгсизлик келиб чиқади. Киритилган d функция билан биргаликда Rⁿ метрик фазо бўлади.
Евклид фазода берилган x нуқта ва r > 0 сони учун

тўплам маркази x нуқтада ва радиуси r га тенг очиқ шар деб,

тўплам эса маркази х нуқтада бўлган ва радиуси r га тенг ёпиқ шар деб аталади.
Сонлар ўқида, яъни R¹ да B_r(x) очиқ шар (x-r, x+r) очиқ интервал, ёпиқ B_r(x) шар эса [x-r, x+r] ёпиқ кесма бўлади.
Энди очиқ шар ёрдамида Rⁿ да очиқ тўплам тушунчасини киритамиз. Берилган А тўплам ва унга тегишли а нуқта учун r >0 сони мавжуд бўлиб B_r(a)А бўлса, а нуқта А тўпламнинг ички нуқтаси дейилади. Ќамма нуқталари ички нуқталар бўлган тўплам очиқ тўплам деб аталади. Демак, ќар қандай очиқ шар очиқ тўплам бўлади, чунки xB_r(a) бўлса, сони учун бўлади. Ќақиқатан бўлса, d(a,y)d(a,x)+d(y,x)d(a,x)+r_xd(a,x)+r-d(a,x)=r яъни d(a,y)<r, демак бўлади. Энди биз бўш тўпламни  билан белгилаб, уни ихтиёрий тўплам учун қисм тўплам ќисоблаймиз, ва уни Rⁿ нинг очиқ қисм тўплами деб қабул қиламиз. Ана шунда очиқ қисм тўпламлар учун қуйидаги теоремани исботлай оламиз.
Теорема1. Очиқ қисм тўпламлар учун қуйидагилар ўринлидир.

1. 
   Бутун фазо, яъни Rⁿ очиқ тўпламдир.
   
2. 
   Бўш тўплам очиқ тўпламдир.
   
3. 
   Чекли сондаги очиқ қисм тўпламларнинг кесишмаси (умумий қисми) очиқ тўпламдир.
   
4. 
   Ќар қандай очиқ тўпламлар оиласи учун бу оиладаги очиқ тўпламлар йиђиндиси очиқ тўпламдир.
   

Исбот. Теореманинг иккинчи тасдиђи исбот талаб қилмайди, чунки бўш тўпламни очиқ тўплам деб эълон килганмиз. Агар аRⁿ бўлса, ихтиёрий r > 0 сони учун B_r(a)Rⁿ муносабат ќар доим ўринли, шунинг учун ќам Rⁿ очиқ тўпламдир.
Энди А₁, А₂,.., А_m очиқ тўпламлар берилган бўлса, тўпламнинг очиқ эканлигини кўрсатайлик. Агар А= бўлса, иккинчи пунктга кўра А очиқ тўплам бўлади. Шунинг учун А деб фараз қилиб, А га тегишли ихтиёрий а нуқтанинг ички нуқта эканлигини кўрсатайлик. Агар аА бўлса, унда аА_i муносабат барча i лар учун бажарилади. Ќар бир А_i очиқ тўплам бўлганлиги учун шундай r_i>0 сони мавжудки, муносабат бажарилади. Бу чекли сондаги r_i сонларининг энг кичигини r билан белгиласак, (a)  (a)A_i муносабат бажарилади. Демак B_r(a) A, ва а нуқта А тўпламнинг ички нуқтасидир. Энди теореманинг 4-пунктини исботлайлик. Очиқ тўпламлардан иборат оила берилган бўлсин. йиђиндининг очиқ тўплам эканлигини кўрсатайлик. Бунинг учун А га тегишли ихтиёрий а нуқта олиб, унинг ички нуқта эканлигини кўрсатамиз. Йиђиндига тегишли а нуқта йиђиндида қатнашаётган тўпламларнинг камида бирортасига тегишли бўлади. Фараз қилайлик а бўлсин. тўплам очиқ бўлганлиги учун бирорта r>0 мавжуд бўлиб, B_r(a) муносабат бажарилади. Демак B_r(a)A ва А тўплам учун а ички нуқта бўлади. Бундан эса, А нинг очиқ тўплам эканлиги келиб чиқади.
Энди очиқ тўплам тушунчасидан фойдаланиб, ёпиқ тўплам тушунчасини киритамиз. Берилган F тўпламнинг тўлдирувчиси CF=Rⁿ\ F очиқ тўплам бўлса, F ёпиқ тўплам деб аталади. Биринчи теоремадан фойдаланиб, ёпиқ тўпламлар учун қуйидаги теоремани исботлаш мумкин.
Теорема-2. Ёпиқ қисм тўпламлар учун қуйидагилар ўринлидир.

1. 
   Бутун фазо, яъни Rⁿ ёпиқ тўпламдир.
   
2. 
   Бўш тўплам ёпиқ тўпламдир.
   
3. 
   Ќар қандай ёпиқ қисм тўпламлар оиласи учун шу оиладаги тўпламлар кесишмаси ёпиқ тўпламдир.
   
4. 
   Чекли сондаги ёпиқ тўпламларнинг йиђиндиси ёпиқ тўпламдир
   

Биз Rⁿ нинг элементлари учун

қоидалар билан янги x+y, x элементларни аниқлашимиз мумкин. Бу ерда  ќақиқий сон. Бу киритилган амалларга нисбатан Rⁿ чизиқли фазо бўлади. Бу ќолда Rⁿ ни чизиқли фазо сифатида қарасак, унинг элементини вектор деб атаймиз. Чизиқли фазо учун белгилашни ўзгартирмаймиз, чунки ќар гал текст мазмунидан Rⁿ нинг метрик фазо ёки чизиқли фазо эканлиги кўриниб туради. Метрик Rⁿ фазо нуқталарининг ќар бир x, y жуфтига боши х нуқтада, охири эса у нуқтада бўлган векторни мос қўйсак, бу вектор чизиқли Rⁿ фазонинг элементи бўлади. Чизиқли Rⁿ фазода скаляр кœпайтма киритилгандан кейин метрик Rⁿ фазони Евклид фазоси деб атаймиз. Демак, Rⁿ ни Евклид фазоси деганимизда, унда d функция ёрдамида метрика киритилиб, унга тегишли нуқталарнинг ќар бир жуфтига мос қўйилган векторлар фазосида скаляр қўпайтма киритилгандир.
Евклид фазосида

кўринишдаги алмаштиришда матрицанинг детерминанти нолдан фарқли бўлса, у аффин алмаштириш деб аталади. Бу ерда

, ,

белгилашларни хисобга олиб аффин алмаштиришни кўринишда ёзишимиз мумкин. Агар A матрица ортогонал матрица бўлса, F акслантириш ќаракат деб аталади. Маълумки, A ортогонал матрица бўлса, , векторлар учун

тенглик ўринлидир, яъни ќаракатда скаляр кўпайтма сақланади. Ќақиқа­тан, A ортогонал матрица бўлса
A^T A=E
муносабат ўринли бўлади. Бу ерда A^T транспонирланган матрица, E эса бирлик матрица. Шунинг учун

тенгликни хосил қиламиз. Бизга аналитик геометрия курсидан маълумки ќаракат икки нуқта орасидаги масофани сақлайди. Агар detA>0 бўлса, маълумки F ќаракат фазода ориентацияни ќам сақлайди.