булади. Демак, / (х) функция

а + Ь) учун /(*)>/ (а) булади. Демак, / (х) функция (а — б, а) да юкоридан, {а, а -f- 6) да куйидан чегаралангандир. Монотон функ­ция лимити хакидаги теоремага асосан
lim f (х) = / (а — 0)< f (а), (5.3)
*—►(2—0
lim f (х) = f (а -г 0) > f (а) (5.4)
*-»а+0
булади. Агар f (а — 0) = f (а) = f (а + 0) булса, функция а нуктада узлуксиз булади. Агар f (а — 0) < f (а — 0) булса, шу нуктада функ­ция биринчи тур узилишга эга булади.
Агар а нукта X ораликнинг четки нуктаси булса, кжоридаги ке- лишувимизга кура, бу нуктадаги бир томонли лимитнинг мавжуд- лигини курсатиш кифоя.
Равшанки, f (х) функция X ораликда камаювчи булган холда хам мулохазаларимиз худди юкоридагидек булади. Теорема исботланди.
Энди монотон функциянинг узлуксиз булиши хакидаги теоремани келтирамиз.

2. 
   т е о р е м а. Агар f (х) функция X ораликда монотон бдлиб, унинг кийматлари туплами Y_f~{f(x)-. х£Х) бирор ораликдан иборат булса, у холда бу функция X да узлуксиз булади.
   

И с бот. Аншушк учун f (х:) функция X да усувчи булсин. Фараз килайлик, f (х) функция теореманинг шартларини каноатлантирса хам, у бирор а£Х нуктада узлуксиз булмасин. У холда 1-теоре­мага кура у биринчи тур узилишга эга булади. Яъни
f (а — 0) < f (а + 0)
булади (агар а нукта X ораликнинг четки нуктаси булса, (5.3) ёки (5.4) тенгсизлик уринли булади). Натижада
х < а булса, f (х) <; / (а — 0)
х > а булса, f (х) ^ f (а + 0)
булиб, f (х) функция (f (а — 0), f (а-Ь 0)) интервалдаги f (а) дан
бошка кийматларни хеч бир х£Х да кабул ^ила олмайди. Бу эса
[ (х) нинг ^ийматлари туплами Y_f бирор оралщдан иборат эканли- гига зиддир. Демак, функция а нуктада биринчи тур узилишга эга була олмайди. Теорема исбот булди.

4. 
   §. Узлуксиз функцнялар устнда арифметик амаллар
   

Энди узлуксиз функцияларнинг йириндиси, айирмаси, купайтмаси ва нисбатини узлуксизликка текширамиз.

2. 
   т е о р е м а. Агар f (х) ва g (х) функциялар X с—R тупламда анщланган. булиб, уларнинг щр бири а£Х нуктада узлуксиз бул­са,
   

f (х) ± g (X), f {x)-g (х), (g (х)ф 0, Yx£X)
е (*)

159

www.ziyouz.com kutubxonasi



функциялар %ам uiy нуцтада узлуксиз булади.
И с бот. Бу теореманинг исботи лимитга эга булган функциялар устида арифметик амаллар хасидаги теоремалардан бевосита келиб чикади. Масалан, иккита узлуксиз функция купайтмаси яна узлук­сиз функция булишини курсатайлик. / (х) ва g (х) функциялар а нуц- тада узлуксиз булсин:

булиб, ундан f{x) g{x) функциянинг а ну^тада узлуксиз булиши келиб чикади.

3. 
   эслатма. Иккита функция йириндиси, айирмаси, купайтмаси ва нисбати узлуксиз булишидан бу функцияларнинг хар бирининг уз­луксиз булиши келиб чикавермайди.
   

Мисол. Куйидаги /(х)=х ва

узлуксиз булган холда g(x) функция х = 0 ну^тада узлуксиз эмас.
Юцорида келтирилган теорема кушилувчилар хамда купайтувчи- лар сони ихтиёрий чекли булган холда хам уринли булишини кур- сатиш кийин эмас.
Энди теореманинг ^улланилишига мисоллар келтирайлик.
Мисоллар. 1. у = ах^п, а = const, n£N функция R да уз­луксиз.
Равшанки, f(x) = х функцяи R да узлуксиз. Агар берилган функцияни

куринишда ифодалаш мумкинлигини эътиборга олсак, 3-теоремага кура у — ах^п функциянинг R да узлуксизлиги келиб чикади.
Келтирилган мисол ва 3-теоремадан бутун на каср рационал функциялар

lim / (х) = / (a), Iim g (х) = g (а).

У холда

Iim [f (х)■ g (*)] = Iim / (х)• Iim g (х) = / (а) • g (а)




функциялар купайтмасидан тузилган <р(х) = х ■ cos— функция /? да

у = ах^п = а-х-х х

п та

Р{х) = а₀х^п + а, х^{п 1} + + а_п_,х + а_п,
+ а_п-\Х+а _п
+ Ь_т_₁х^-Ь_т

160

www.ziyouz.com kutubxonasi

(a₀, a_v , а_п; b_Q, Ь_ъ ,b_m — узгармас сонлар, n£N, m£N) уз аницланиш тупламларида узлуксиз булиши келиб чи^ади.

2- У — tgjc, у — ctg л:, у = secx, у = cosec.v функциялар уз ани^- ланиш сохаларида узлуксиз. Х,акицатан, бу функциялар узлуксиз функцияларнинг нисбэти оркали ифодаланади.

4. 
   §. Мураккаб функциянинг узлуксизлиги
   

у = f(x) функция X тупламда, z = ф(у) функция эса V тупла.м- да аншуганган булиб, улар ёрдамида z = ф(/(х)) мураккаб функция тузилган булсин (4-бобнинг 1-§ ига царанг).

3. 
   теорема Агар у = / (х) функция а£Х нуктада, z = ср(у) функция эса а нуцтага мос келган y_a = f(a) нуцтада узлуксиз булса, z = ф (/ (х)) мураккаб функция а нуктада узлуксиз булада.
   

И с бот. у = \(х) функция а£Х нуктада, г = ф(г/) функция эса мос у_а = Ца) нуктада узлуксиз булсин. Функция узлуксизлиги таъ- рифига кура Ve>0 сон учун шундай а>0 сон топиладики,
I У — У а I < ^а тенгсизлик бажарилса, | (р(у) — ф (у_а) | < е тенгсизлик хам бажарилади. Шунингдек, олинган о > 0 сон учун шундай б > 0 сон топиладики, \х — а [ < б тенгсизлик бажарилганда | /(х) — — f(a) i < а тенгсизлик >^ам бажарилади. Демак, V в > 0 сон учун шундай б > 0 сон топиладики, \х — а | < б тенгсизлик бажарилганда
|ф(Я*))— ф№))1< е
теигсизлик хам бажарилади. Бу эса z = cp(f(x)) функциянинг а нук­тада узлуксиз булишини билдиради. Теорема исбот булди.
Мисоллар. 1. у = а^х (а > 1) R тупламда усувчи функция. Хар бир у > 0 да х = log_ау нинг мавжуд булишидан берилган функциянинг ^ийматлари у = {а^х: х£ R} = (0, +оо) оралицнн таш- кил эгиши келиб чицади. Демак, у = а^х функция R да узлуксиз.
2- У = Iog„x (а > 1). Бу функция X = (0, +оо) ораликда усув­чи. Унинг цийматлари Y = {loa;_ax: х£(0, -j- оо)} = R ни тулдиради, чунки >^ар бир y£R учун х — а^у мавжуд. Демак, у — log_ux (а > 1) функция, (0, +оо) да узлуксиз.
Ю^орида келтирилган курсаткичли ва логарифмик функциялар­нинг 0 < а < 1 булганда узлуксиз эканлиги ^ам 2- теоремадан ке­либ чи^ади.
3. у = x^il (х > 0) даражали функцияни ^арайлик. Бу функцияни
И X
у = х = а (а > 0, а Ф 1)
куринишда ифодалаш мумкин. Агар ц log_ax функция (0, 4-°°) да, а^х функция эса R да узлуксиз эканини эътиборга олсак, у .\олда мураккаб функциянинг узлуксизлиги хасидаги теоремага асосланиб у х¹‘ функциянинг (0, 4-°о) ораликда узлуксиз булишини топа- миз.

11—2651 161

www.ziyouz.com kutubxonasi

4.