«iqtisodiy matematika» fanidan

Yechilishi. A – birinchi to‘pni nishonga tekazishi, B – ikkinchi to‘pni nishonga tekazishi hodisalari erklidir.

Izlanayotgan ehtimol quyidagiga teng:

Ihtiyoriy A,B,C hodisalar uchun

.

Ihtiyoriy hodisalar uchun

A hodisa birgalikda bo‘lmagan hodisalarning to‘la guruhini hosil qiladigan B₁, B₂, …, B_n hodisalarning (ular gipotezalar deb ataladi) biri bilan ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bu gipotezalarning ehtimolliklari ma’lum, ya’ni P(B₁), P(B₂), …, P(B_n) berilgan bo‘lsin. A hodisaning shartli ehtimolliklari ham ma’lum bo‘lsin. A hodisaning ehtimoli quyidagi teoremadan topiladi.

Teorema. To‘la guruh tashkil etuvchi birgalikda bo‘lmagan B₁, B₂, …, B_n hodisalardan bittasining ro‘y berganlik shartidagina ro‘y beradigan A hodisaning ehtimoli shu hodisalardan har birining ehtimolini ehtimolini A hodisaning mos shartli ehtimoliga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng.

Bu formula to‘la ehtimollik formulasi deyiladi.

Misol. Birinchi qutida 20 ta gul ko‘chati bo‘lib, ulardan 18 tasi sariq, ikkinchi qutida esa 10 ta gul ko‘chati bo‘lib, ulardan 9 tasi sariq. Ikkinchi qutidan tavakkaliga bitta gul ko‘chati olinib, birinchi qutiga solingan. Birinchi qutidan tavakkaliga olingan gul ko‘chatining sariq bo‘lish ehtimolini toping.

Yechilishi. A deb, birinchi qutidan sariq gul ko‘chati olingan hodisasini belgilaymiz. Ikkinchi qutidan sariq gul ko‘chati olingan (B₁ hodisa) yoki sariq bo‘lmagan gul ko‘chati olingan (B₂ hodisa) bo‘lishi mumkin.

Ikkinchi qutidan sariq gul ko‘chati olinishi ehtimoli , sariq bo‘lmagan gul ko‘chati olinishi ehtimoli .

Ikkinchi qutidan birinchi qutiga sariq gul ko‘chati olinganlik sartida birinchi qutidab sariq gul ko‘chati olinishining shartli ehtimoli ga, ikkinchi qutidan birinchi qutiga sariq bo‘lmagan gul ko‘chati olinganlik sartida birinchi qutidab sariq gul ko‘chati olinishining shartli ehtimoli ga teng.

.

A hodisa ro‘y berishi munosabati bilan gipotezalarning ehtimolliklarini qayta baholash, ya’ni shartli ehtimolliklarni topish talab qilinadi.

Masala shartlaridagi sinovdan keyingi gipotezalar ehtimolliklari quyidagi formula orqali topiladi.

Bu formula Bayes formulasi deyiladi. Bayes formulalari sinash natijasida A hodisa ro‘y berganligi ma’lum bo‘lgandan so‘ng gipotezalar ehtimollarini qayta baholashga imkon beradi.