«iqtisodiy matematika» fanidan

xi	yi	x^2i
xi yi
1	1,25	1	1,25
1,5	1,4	2,25	2,1
3	1,5	9	4,5
4,5	1,75	20,25	4,875
5	2,25	25	11,25

Izlanayotgan parametrlarni topamiz, buning uchun jadval bo‘yicha hisoblangan yig‘ndilarni munosabatlarga qo‘yamiz:

Izlanayotgan regressiya tenglamasi quyidagicha:



Mustahkamlash uchun savollar:

1. Qanday bog‘lanish shakllarini bilasiz?

2. Shartli o‘rtacha qiymatni tushuntiring.

3. Korrelyatsiya nazariyasining ikki asosiy masalasini tushuntiring.

4. Tanlanma regressiya koeffisiyentini tushuntiring.

5. Regressiya tenglamasining nomalum parametrlari qanday usul yordamida qidiriladi.

2-ma’ruza mashg‘uloti. Tanlanma to‘g‘ri chiziqli regressiya tenglamasi. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti.

Reja:

1. Tanlanma to‘g‘ri chiziqli regressiya tenglamasi.

2. Eng kichik kvadratlar usuli.

3. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti va uning xossalari.
Iqtisodiy jarayonlarni o‘rganayotganda bir-biriga bog‘liq bo‘lgan ikki va undan ortiq faktorlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Odatda bu faktorlar bir-biriga bog‘liq bo‘ladi.

Kuzatishlar soni kata bo‘lganda bitta x qiymatning n_x marta, bitta y qiymatning n_y marta, son jufti (x;y) ning bitta o‘zi n_xy marta uchrashi mumkin.

Y X	10	20	30	40	ny
0,4	5	-	7	14	26
0,6	-	2	6	4	12
0,8	3	19	-	-	22
nx	8	21	13	18	n=60

Agar ning ga va ning ga regressiya chiziqlarining ikkalasi ham to‘g‘ri chiziqlar bo‘lsa, u holda korrelyatsiya chiziqli korrelyatsiya deyiladi.

Chiziqli regressiya tenglamasini kengroq ko‘rib chiqaylik. , bu erda , - chiziqli funksiya koeffitsientlari. Bu chiziqli funksiya koeffitsientlari amalda noma’lum bo‘lib, ular chiziqli regressiya grafigining tanlanma elementlariga eng yaqin joylashish shartidan, ya’ni , -parametrlarni -kvadratik formaning minimumga erishish shartidan topamiz. Bu usul Lejandr usuli yoki kichik

kvadratlar usuli deyiladi.

Topilgan , ning qiymatlarini chiziqli regressiya tenglamasiga qo‘yamiz.

. Quyidagi belgilashni kiritamiz: - tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti. - barcha to‘g‘ri chiziqlar ichida berilgan tanlanmaga eng yaqin joylashgan to‘g‘ri chiziq tenglamasidir.

Tanlanma korrelyatsiya koeffitsientining xossalari:

1) Tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti qiymatlari uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

2) Agar bo‘lsa, u holda , agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

3) Agar bo‘lsa, u holda , agar bo‘lsa, bo‘ladi.
Mustahkamlash uchun savollar:

1. Chiziqli regressiya tenglamasi qanday yoziladi?

2. Parabolik regressiya tenglamasini yozing.

3. Tanlanma korrelyatsiya koeffitsientining xossalari.

4. Ikki tasodifiy miqdorning kovariatsiyasi nimaga teng?

5. Kovariatsiyaning xossalari nimalardan iborat?

6. Korrelyatsiya koeffitsienti qanday topiladi?

7. Korrelyatsiya koeffitsientining xossalarini ayting.

8. Korrelyatsiya koeffitsienti nol’ bo‘lgan, ammo bog‘liq tasodifiy miqdorlarga misol keltiring.


3-ma’ruza mashg‘uloti. Tanlanma korrelyatsion nisbat. Egri chiziqli va to‘plamiy korrelyatsiya.

Reja:

1. Tanlanma korrelyatsion nisbat va uning xossalari.

2. Chiziqli bo‘lmagan korrelyatsion bog‘lanish.

3. Egri chiziqli va to‘plamiy regressiya tenglamalari.

4. Regression tahlilning amaliy masalalardagi ahamiyati.

Tanlanmada belgilar orasidagi chiziqli korrelyatsion bog‘lanish zichligini baholash uchun tanlanma korrelyatsiya koeffisiyenti, nochiziqli bog‘lanishda tanlanma korrelyatsiom nisbat xizmat qiladi.

Y ning X ga tanlanma korrelyatsin nisbati deb, guruhlararo o‘rtacha kvadratik chetlanishning umumiy o‘rtacha kvadratik chetlanishiga nisbatiga aytiladi.

Bu yerda,

;

X ning Y ga tanlanma korrelyatsin nisbati deb, guruhlararo o‘rtacha kvadratik chetlanishning umumiy o‘rtacha kvadratik chetlanishiga nisbatiga aytiladi.

Misol. Korrelyatsion jadval bo‘yicha ni toping.

X Y	10	20	30	ny
15	4	28	6	38
25	6	-	6	12
ny	10	28	12	n=50
	21	15	20

Yechilishi. Umumiy o‘rtacha qiymatni topamiz.

.

Umumiy o‘rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:

Guruhlararo o‘rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:

Izlanayotgan korrelyatsion nisbat quyidagiga teng:

.

Xossalari.

1. ;

2. Agar bo‘lsa, u holda Y belgi X belgi bilan korrelyatsion bog‘lanish bilan bog‘lanmagan.

3. Agar bo‘lsa, u holda Y belgi X belgi bilan funksional bog‘langan.

4. Tanlanma korrelyatsion nisbat tanlanma korrelyatsion koeffitsiyentning absolyut qiymatidan kichik emas:

.

5. Agar tanlanma korrelyatsion nisbat tanlanma korrelyatsiya koeffisiyentining absolyut qiymatidan qiymatiga teng bo‘lsa, u holda aniq chiziqli bog‘lanish o‘rinli bo‘ladi.

Agar regressiya grafigi yoki egri chiziq bilan tasvirlanadigan bo‘lsa, korrelyatsiya egri chiziqli deyiladi.

Masalan:

1. (Ikkinchi tartibli parabolik korrelyatsiya);

2. (Uchinchi tartibli parabolik korrelyatsiya);

3. (Giperbolik korrelyatsiya);

Agar bir necha belgi orasidagi bog‘lanish o‘rganilayotgan bo‘lsa, korrelyatsiya to‘plamiy korrelyatsiya deyiladi.

Eng oddiy holda belgilar soni uchta va ular orasidagi bog‘lanish chiziqli bo‘ladi.

Quyidagi masalalar hal etilishi kerak:

1) kuzatish ma’lumotlari bo‘yicha bog‘lanishning

ko‘rinishdagi tanlanma tenglamasini, ya’ni A va B regressiya koeffisiyentlarini hamda C parametrni topish;

2) Z bilan ikkala X, Y belgi orasidagi bog‘lanish zichligini aniqlash;

3) Z va X (Y o‘zgarmas bo‘lganda) orasidagi, Z va Y (X o‘zgarmas bo‘lganda) orasidagi bog‘lanish zichligini baholash.

Eng kichik kvadratlar usuli yordamida yechiladi. Tenglama ko‘rinishda izlanadi.

;

Z belgining X, Y belgilar bilan bog‘lanish zichligi ushbu tanlanma to‘plamiy korrelyatsiya koeffisiyenti bilan baholanadi:




Mustahkamlash uchun savollar:

1. Tanlanma korrelyatsion nisbat qachon qo‘llaniladi.

2. Tanlanma korrelyatsion nisbatning xossalarini ayting.

3. Qnday chiziqli bo‘lmagan korrelyatsion bog‘lanishlarni bilasiz.

4. Egri chiziqli regressiya tenglamasi qanday usul bilan topiladi.

5. To‘plamiy korrelyatsiya koeffisiyentini topish formulasini tushuntiring.

5-mavzu. Statistik gipotezalar va ularni tekshirish. (8 soat)

1-ma’ruza mashg‘uloti. Statistik gipotezalar. Statistik kriteriy.

Reja:

1. Statistik gipotezalar.

2. Sodda va murakkab gipotezalar.

3. Asosiy va alternativ gipotezalar.

4. I va II tur xatoliklar.

Ko‘pincha bosh to‘plam taqsimot qonunini bilish zarur bo‘ladi. Agar taqsimot qonuni noma’lum, lekin uni tayin ko‘rinishga ega deb tahmin qilishga asos bor bo‘lsa gipoteza ilgari suriladi. Taqsimot qonuni ma’lum, lekin uning parametrlari noma’lum bo‘lgan xollari ham bo‘lishi mumkin.

Statistik gipoteza deb nomalum taqsimotning ko‘rinishi haqida yoki ma’lum taqsimotlarning parametrlari haqidagi gipotezaga aytiladi.

Masalan: 1) bosh to‘plam Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan; 2) ikkita normal to‘plamning dispersiyalari o‘zaro teng.

Nolinchi (asosiy) gipoteza deb olg‘a surilgan H₀ gipotezaga aytiladi. Konkurent (alternativ) gipoteza deb nolinchi gipotezaga zid bo‘lgan H₁ gipotezaga aytiladi.

Masalan, nolinchi gipoteza normal taqsimotning a matematik kutilishi 10 ga teng degan taxmindan iborat bo‘lsa, konkurent gipoteza dan iborat bo‘lishi mumkin.

.

Oddiy gipoteza deb faqat bitta taxminni o‘z ichiga olgan gipotezaga aytiladi.

Masalan: 1) agar  ko‘rsatkichli taqsimotning paramrtri bo‘lsa, u holda gipoteza oddiy; 2) H₀: normal taqsimotning matematik kutilishi 3 ga teng ( - ma’lum) gipoteza oddiy.

Murakkab gipoteza deb chekli yoki cheksiz sondagi oddiy gipotezalardan iborat gipotezalarga aytiladi.

Masalan: 1) agar  ko‘rsatkichli taqsimotning paramrtri bo‘lsa, u holda gipoteza oddiy; 2) H₀: normal taqsimotning matematik kutilishi 3 ga teng ( - noma’lum) gipoteza murakkab gipotezadir.

Olg‘a surilayotgan gipoteza to‘g‘i yoki noto‘g‘i bo‘lishi mumkin. Shuning uchun u tekshiriladi. Tekshirishlar statistik usullar bilan olib borilgani uchun statistik tekshirish deyiladi.

Birinchi tur xato shundan iboratki, bunda to‘g‘ri gipoteza rad qilinadi.

Ikkinchi tur xato shundan iboratki, bunda noto‘g‘ri gipoteza qabul qilinadi.

Nolinchi gipotezani tekshirish maqsadida maxsus tanlangan va aniq yoki taqribiy taqsimoti ma’lum bo‘gan tasodifiy miqdor ishlatiladi. Bu miqdor, agar u normal taqsimlangan bo‘lsa U yoki Z orqali, Fisher-Snedoker qonuni bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsa, F orqali, Styudent qonuni bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsa, T orqali, “xi kvadrat” qonuni bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsa, ² orqali belgilanadi.

Statistik kriteriy deb nolinchi gipotezani tekshirish uchun xizmat qiladigan K tasodifiy miqdorga aytiladi.

Masalan, ikkita normal taqsimlangan bosh to‘plamning dispersiyalari tengligi haqidagi gipoteza tekshirilayotgan bo‘lsa, u holda K kriteriy sifatida tuzatilgan tanlanma dispersiyalari nisbati olinadi:

Bu miqdor tasodifiydir, chunki turli tajribalarda dispersiyalar har hil, oldindan ma’lum bo‘lmagan qiymatlar qabul qiladi. U Fisher-Snediker qonuni boyicha taqsimlangan.

Kuzatiladigan qiymat K_kuzat. Deb kriteriyning tanlanmalar bo‘yicha hisoblangan qiymati belgilanadi.
Mustahkamlash uchun savollar:

1. Gipoteza deganda nimani tushunasiz?

2. Gipotezaning qanday turlarini bilasiz?

3. Kritik soha deb nimaga aytiladi?

4. Sodda gipoteza deb nimaga aytiladi?

5. Qachon gipoteza murakkab bo‘ladi?

2-ma’ruza mashg‘uloti. “Tuzatilgan” tanlanma dispersiyani normal taqsimlangan bosh to‘plam dispersiyasi bilan taqqoslash.

Reja:

1. Eng quvvatli kriteriylar.

2. Sodda gipoteza uchun Pirson kriteriyasi.

3. Murakkab gipoteza uchun Pirson kriteriyasi
Oddiy gipoteza uchun muvofiqlik kriteriysini ko‘rib chiqamiz. R-sonlar o‘qini shunday ta intervallarga shunday bo‘lamizki, natijada

a)

b) bo‘lsin.

funksiya ma’lum bo‘lganligidan tanlanma elementlarining bu intervallarga tushish ehtimolini hisoblashimiz mumkin. Bularni bilan, bu intervallarga tushgan tanlanma elementlar sonini bilan belgilaylik K.Pirson (1900) da

statistikasi erkinlik darajasi k-I bo‘lgan taqsimotga ega ekanligini isbotlagan. kriteriysining qo‘llanish qoidasi quyidagicha: statis­tika qiymatini (2)-formula bo‘yicha hisoblab va qiymatlilik dara­jasi ni tanlab - taqsimoti jadvalidan ning kritik qiymati aniqlanadi.

2. 
   Agar bo‘lsa, u holda gipotezasi qabul qilinmaydi, agar bo‘lsa, u holda gipoteza qabul qilinadi. Murakkab gipoteza uchun muvofiqlik kriteriysi.
   

(3)

murakkab gipotezasini ko‘rib chiqamiz, ya’ni funksiyasining funktsional ko‘rinishi ma’lum, lekin ba’zi bir (yoki hamma) parametrlari noma’lum. Oddiy gipotezadan farqi shundaki, nazariy _ehtimollari bevosita hisoblash imkoniyati yo‘q, chunki ular noma’lum parametrlar larga bog‘liq. SHunday qilib, ularni ko‘rinishda yozishimiz shart. Noma’lum parametrlarni ularning baho qiymatlari bilan almashtiramiz. U holda (2)- statistika quyidagi ko‘rinishga keladi:

X²= (4)

Tushunarliki, taqsimoti haqidagi masala ham o‘zgaradi, chunki lar o‘z navbatida tasodifiy qiymatlar bo‘lib, (4) statistikaning asimptotik taqsimoti oddiy N₀ gipoteza bilan bir xil ko‘rinishga ega ekanligi o‘z-o‘zidan oshkor emas.

Mustahkamlash uchun savollar:

1. I va II tur xatoliklarning ta’rifini ayting?

2. I va II tur xatoliklarning farqi nimadan iborat?.

3. Sodda gipoteza deb nimaga aytiladi?

4. Qachon gipoteza murakkab bo‘ladi?

5. Asosiy va al’ternativ gipotezalarning farqi nimadan iborat?.

3-ma’ruza mashg‘uloti. Normal taqsimlangan bosh to‘plam o‘rtachalarini erkli tanlanmalar asosida taqqoslash.

Reja:

1. Intervallar sonini aniklash

2. Teng ehtimolliklar usuli

3. Mezonni qo‘llash uchun tavsiyalar
R.Fisher (1928) da statistikasi (4) agar noma’lum parametrlarning baho qiymatlari minimum usuli bilan olingan bo‘lsa, yoki minimum modifikatsiyasi yordamida gruppalangan tanlanmalar bo‘yicha aniqlangan bo‘lsa, erkinlik darajasiga ega bo‘lgan - taqsimotga ega ekanligini isbotlagan.

Shu bilan birga Fisher agar qiymatlar ihtiyoriy usul bilan aniqlangan bo‘lsa, u holda

(5)

ekanligini ko‘rsatgan. o‘rinli bo‘lganligidan, kriteriysining qo‘llanishi quyidagicha bo‘ladi. (4) formula statistik qiymatini hisoblab, bu erda qiymatlar biror usul bilan hisoblangan va muhimlik darajasini tanlab olingandan keyin, taqsimot jadvalidan va lar aniqlanadi.

Agar bo‘lsa, gipoteza qabul qilinmaydi. Agar bo‘lsa, gipoteza qabul qilinadi.

Agar bo‘lsa, u holda qiymatlarni aniqlash uchun minimum usuli yoki minimum usuli modifikatsiyasi qo‘llaniladi. Bu xolda da statistika erkinlik darajasiga ega bo‘lgan taqsimotiga egadir. SHu sababdan, agar bo‘lsa, gipoteza qabul qilinmaydi. Aksincha, agar bo‘lsa, gipoteza qabul kilinadi.

Bunday gipoteza qabul qilinganda, ravshanki, faqat birinchi tur xato tekshiriladi. Kriteriy quvvati funksiyasini hisoblash imkoniyati bo‘lmaganligi uchun ikkinchi tur xatolikni hisoblab bo‘lmaydi. Shuning uchun ikkinchi tur xatolikni kamaytirish va demak, kriteriy quvvatini oshirish uchun bir necha tavsiyalar beramiz.

Shungacha ko‘rilgan c² kriteriysining asimptotik nazariyasi tanlanma elementlarini gruppalash tanlanma elementlariga bog‘liq bo‘lmagan holda aniqlanadigan intervallarni ihtiyoriy ravishda aniqlashga asoslangan. Bu shart intervallar chegarasi tasodifiy qiymatlar ekanligi nazarda tutilmagan hollarda mavjuddir. Odatda amaliyotda intervallarga bo‘lish chegaralarini aniqlash, ba’zida berilgan tanlanmaning umumiy ko‘rinishini aniqlashdan iboratdir. Biz intervallarga bo‘lish usullarini muloxaza qilib, undan keyin asimptotik nazariyaga ta’sirini ko‘rib chiqishimiz kerak.

Amalda bu masalaning echimi arifmetik qulaylikka bog‘liq: intervallar teng uzunliklarda olinadi, chetkilardan tashqari. Interval uzunligi taqriban taqsimot dispersiyasi bilan aniqlanadi, shunda taqsimot holati markaziy intervalning qaerda bo‘lishini aniqlashda yordam beradi.

Intervallar uchun hisoblangan X² statistika shunday asimptotik taqsimotga ega ekanligini oldindan bilishning iloji yo‘q, xattoki, intervallar oldindan o‘zgarmas qilib olinganda ham. Uzluksiz taqsimotning umumiy holi uchun qurilgan asimptotik nazariya intervallar chegarasi tanlanma bo‘yicha aniqlanganda ham o‘rinli ekanligini Vatson ko‘rsatib bergan. Shunday qilib, X² statistikaning N₀ gipoteza bo‘yicha asimptotik taqsimoti qurilganda intervallar chegaralarining tasodifiyligini hisobga olmasak ham bo‘ladi.

Biz chegaralarni aniqlashning optimal usulini kriteriy quvvati atamalarida aniqlashimiz kerak, ular berilgan muhimlik darajasi uchun kriteriyga maksimum quvvat beradigan bo‘lsin.

Berilgan K uchun intervallarni shunday tanlash kerakki, hamma P_i nazariy ehtimollar ga teng bo‘lsin. Bu aniq va bir qiymatli jarayondir. U odatdagi usuldan (teng uzunlikdagi intervallar) shunisi bilan farq qiladiki, P_i larning bir xil bo‘lishi uchun jadvallardan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Buni aniq amalga oshirish uchun berilgan ma’lumotlar gruppalanmagan bo‘lishi kerak.

F₀(x) uzluksiz taqsimot funksiyasiga ega bo‘lgan oddiy gipotezani (1) n hajmli tanlovda tekshirish uchun teng ehtimolli intervallar c² kriteriy qo‘llanilsin. F(n,k,D) orqali N_D: al’ternativ sinfiga qarshi kriteriy quvvatining minimumini belgilaymiz. Berilgan n va D lar uchun f(n,k,D) funksiya k ning biror qiymatida maksimum qiymatga erishadi. Bunday k sonlar chizig‘i R ni intervalga bo‘lishning optimal soni bo‘ladi. f(x)- taqsimot funksiyasi bo‘lsin va x_a- (x_a)=1-a tenglamaning echimi bo‘lsin. G. Mann va A. Val’d teoremasi shuni ta’kidlaydiki, n®¥da

(6)

Shuni ta’kidlash kerakki, bu natija taqsimot funksiyalarining uzoqlashishi ro‘y berganda eng noqulay al’ternativlarga qarshi quvvatning maksimumi shartidan olingan. Agar faqat «tekis» al’ternativlarni nazarda tutsak, optimal soni k ancha kichik bo‘ladi. Uil’yams (1950) G. Mann va A.Val’dning k optimal qiymatini kriteriy quvvatini sezilarli darajada o‘zgartirmay, ikki barobar kamaytirib olish mumkinligini ko‘rsatdi, ya’ni k=[2 ] bunda [a]-a ning butun qismi.

Mustahkamlash uchun savollar:

1. Intervallar soni qanday aniqlanadi.

2. Teng ehtimolliklar usuli deganda nimani tushunasiz.

3. Mezonni qo‘llash uchun tavsiyalar.

4-ma’ruza mashg‘uloti. Binomial taqsimotlarning bir jinsliligini tekshirish.

Reja:

1. Ikki tasodifiy miqdor orasidagi statistik bog‘lanish.

2. Ikki tasodifiy miqdor orasidagi korrelyatsion bog‘lanish.

3. Chiziqli regressiya tenglamasi.
Agar bir miqdorning har bir qiymatiga ikkinchi miqdorning birorta qoida orqali faqat bitta qiymati mos kelsa bunday bog‘lanish funktsional bog‘lanish deyiladi. Misol. Aylana uzunligi va uning radiusi ni ikki miqdor desak, bu miqdorlar orasidagi funktsional bog‘lanish quyidagicha yoziladi.

,

bunda aylana radiusi ning har bir qiymatiga uni ga ko‘paytirish qoidasi yordamida aylana uzunligi ning yagona qiymati mos keladi. Afsuski tabiatda uchraydigan hamma miqdorlar ham funktsional bog‘langan bo‘lmaydi.Agar bir miqdorning o‘zgarishi ikkinchi miqdorning taqsimot qonunining o‘zgarishiga olib kelsa, bunday bog‘lanish statistik bog‘lanish deyiladi.

Masalan. deb, bir gektar erda solinadigan mineral o‘g‘it miqdorini,

deb esa, shu erdan olinadigan xosildorlik miqdorini belgilasak, u holda bu ikki miqdorning o‘zaro bog‘liqligi o‘z-o‘zidan tushunarli, lekin bu bog‘liklikni funktsional munosabat bilan bog‘lab bo‘lmaydi. Bunday hollarda statistik bog‘lanish qaraladi.Odatda, tasodifiy miqdor taqsimot qonuni noma’lum bo‘ladi, shu sababli amalda statistik bog‘lanish o‘rniga korrelyatsion bog‘lanish qaraladi.

Bir miqdorning o‘zgarishi ikkinchi miqdor shartli o‘rta qiymatining o‘zgarishiga olib kelsa, bunday bog‘lanish korrelyatsion bog‘lanish deyiladi.Korrelyatsion jadval yordamida shartli o‘rta qiymat tushunchasi quyidagicha kiritiladi: miqdorning qiymat qabul qilgandagi shartli o‘rta qiymati deb, ga aytiladi. Bu ta’rifdan ko‘rinib turibdiki, tanlanma berilgan bo‘lsa, uning shartli o‘rta qiymatlarini hisoblash qiyin bo‘lmaydi.

miqdorning o‘zgarishi natijasida miqdorning shartli o‘rta qiymati ham o‘zgaradi, ya’ni - bu tenglama miqdorning miqdorga nisbatan regressiya tenglamasi deyiladi. Bu funksiyaning grafigi regressiya chizig‘i deyiladi.
Mustahkamlash uchun savollar:

1. Funktsional bog‘lanish deb nimaga aytiladi?

2. Statistik bog‘lanish nima?

3. Korrelyatsion bog‘lanishning ta’rifini ayting?

4. Korrelyatsion jadval deb nimaga aytiladi?

5. Shartli o‘rta qiymat ta’rifini ayting.

6. Eng kichik kvadratlar usuli nimadan iborat.

7. Chiziqli regressiya tenglamasi deb nimaga aytiladi?