«iqtisodiy matematika» fanidan

2-mavzu. Tasodifiy miqdorlar (8 soat)

1-ma’ruza mashg‘uloti. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot funksiyalari.

Reja:

1. Tasodifiy miqdor tushunchasi.

2. Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonuni.

3. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimot funksiyasi.

4. Zichlik funksiya va xossalari.

Tasodifiy miqdor deb, avvaldan noma’lum bo‘lgan va oldindan inobatga olib bo‘lmaydigan tasodifiy sabablarga bog‘liq bo‘lgan hamda sinash natijasida bitta mumkin bo‘lgan qiymat qabul qiluvchi miqdorga aytiladi.

Elementar hodisalar fazosida aniqlangan har qanday sonli funksiya tasodifiy miqdor deyiladi.

Ikki xil tasodifiy miqdorlarni ko‘rib o‘tamiz:

1) Diskret tasodifiy miqdor;

2) Uzluksiz tasodifiy miqdor.

Diskret tasodifiy miqdor deb, ayrim ajralgan qiymatlarni ma’lum ehtimollar bilan qabul qiluvchi miqdorga aytiladi. Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin.

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar deb chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo‘lgan miqdorga aytiladi.

Tasodifiy miqdorlarni X, Y, Z harflar bilan, ularning qabul qiladigan qiymatlarini x, y, z lar bilan belgilaymiz.

Diskret tasodifiy miqdor berilgan bo‘lishi uchun uning qabul qiladigan qiymatlari va bu qiymatlarni qabul qilish ehtimollari ko‘rsatilishi kerak. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar bilan ularning ehtimollari orasidagi o‘rnatilgan moslikka aytiladi.

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Misol. Pul lotareyasida 100 ta bilet chiqarilgan. Bitta 50000 so‘mlik, o‘nta 1000 so‘mlik yutuq o‘ynalmoqda. X tasodifiy miqdor – bitta lotareyasi bor kishi yutuqlari taqsimot qonunini toping.

Yechish. X ning mumkin bo‘lgan qiymatlari: x₁=50000, x₂=1000, x₃=0.

Bu mumkin bo‘lgan qiymatlarning ehtimollarini topamiz.

Izlanayaotgan tasodifiy miqdorning taqsomot qonunini yozamiz.

Tasodifiy miqdorning ehtimollari yig‘ndisi 1 ga teng bo‘ladi.

Taqsimot qonuning grafigi taqsimot ko‘pburchagi deyiladi.

Har doim ham uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonunini yozib bo‘lmaydi, chunki har qanday qiymat uchun P(X=x_k)=0.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot (integral) funksiyasi deb, har bir x qiymat uchun X tasodifiy miqdorning x dan kichik qiymat qabul qilish ehtimolini aniqlovchi F(x) ga autiladi, ya’ni F(x)=P(X<x).

Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi F(x) ning xossalari:

1⁰. Integral funksiyaning qiymatlari [0;1] kesmaga tegishli: .

2⁰. F(x) kamaymaydigan funksiya, ya’ni x₂>x₁ bo‘lsa, u holda .

3⁰. Agar tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari (a;b) intervalga tegishli bo‘lsa, u holda

1) da F(x)=0;

2) da F(x)=1.

4⁰. F(x) funksiya sanoqli sondagi uzilish nuqtasiga ega.

5⁰. F(x) funksiya 2-tur uzilishga ega.

1-natija. Tasodifiy miqdorning (a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimoli integral funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng:

2-natija. X uzluksiz tasodifiy miqdorning tayin bitta qiymat qabul qilish ehtimoli nolga teng.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik (differensial) funksiyasi deb, ga aytiladi.

Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasining xossalari:

1⁰. Ihtiyoriy x uchun ;

2⁰. Zichlik funksiyasi berilgan bo‘lsa, taqsimot funlsiyasi quyidagi tenglik orqali aniqlanadi:

3⁰. X tasodifiy miqdorning (a;b) oraliqda qiymat qabul qilish ehtimoli: _;

4⁰. .

Misol. X tasodifiy miqdorning differensial funksiyasi berilgan:

Sinash natijasida X tasodifiy miqdorning (0,5;1) intervalga tegishli qiymat qabul qilish ehtimolini toping.